大學《高等數(shù)學》試題及答案
高等數(shù)學試題及答案
一、填空題
1、設曲線過(0,1),且其上任意點(X,Y)的切線斜率為2X,則該曲線的方程是_y=x2+1__。
四、應用和證明題(共15分)
2.函數(shù)y=x+ex 上點( 0,1 )處的切線方程是______2x-y+1=0________。
f(Xo+2h)-f(Xo-3h)
3.設f(X)在Xo可導且f'(Xo)=A,則lim ─────────────── =__5A_。
h→o h
。担∫─────dx=_____________。
1-x4
1
。叮欤椋 Xsin───=___________。
x→∞ X
。罚Of(x,y)=sin(xy),則fx(x,y)=____________。
_______
R √R2-x2
。福鄞畏e分∫ dx ∫ f(X2 + Y2 )dy 化為極坐標下的累次積分為_______。
0 0
d3y 3 d2y
9.微分方程─── + ──(─── )2 的階數(shù)為____________。
dx3 x dx2
∞ ∞
。保埃O級數(shù) ∑ an發(fā)散,則級數(shù) ∑ an _______________。
n=1 n=1000
二、單項選擇題(在每小題的四個備選答案中,選出一個正確的答案,將其碼寫在題干的○內(nèi),1~10每小題1分,11~20每小題2分,共30分)
(一)每小題1分,共10分
1
1.設函數(shù)f(x)=── ,g(x)=1-x,則f[g(x)]= ( ③)
x
1 1 1
①1- ── ②1+ ── ③ ──── ④x
x x 1- x
1
2.x→0 時,xsin──+1 是 ( ③)
x
①無窮大量 ②無窮小量 ③有界變量 ④無界變量
3.下列說法正確的是 ( ④)
①若f( X )在 X=Xo連續(xù), 則f( X )在X=Xo可導
②若f( X )在 X=Xo不可導,則f( X )在X=Xo不連續(xù)
③若f( X )在 X=Xo不可微,則f( X )在X=Xo極限不存在
④若f( X )在 X=Xo不連續(xù),則f( X )在X=Xo不可導
4.若在區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,則在(a,b)內(nèi)曲線。剑妫ǎ( ④ )
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5.設F'(x) = G'(x),則 ( ②)
① F(X)+G(X) 為常數(shù)
② F(X)-G(X) 為常數(shù)
③ F(X)-G(X) =0
d d
④ ──∫F(x)dx = ──∫G(x)dx
dx dx
1
6.∫ │x│dx = ( ② )
-1
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
7.方程2x+3y=1在空間表示的圖形是 ( ② )
①平行于xoy面的平面
②平行于oz軸的平面
③過oz軸的平面
④直線
x
8.設f(x,y)=x3 + y3 + x2 ytg── ,則f(tx,ty)= ( ⑤)
y
1
①tf(x,y) ②t2f(x,y) ③t3f(x,y) ④ ──f(x,y)
t2
an+1 ∞
9.設an≥0,且lim ───── =p,則級數(shù) ∑an ( ④)
n→∞ a n=1
①在p〉1時收斂,p〈1時發(fā)散
②在p≥1時收斂,p〈1時發(fā)散
③在p≤1時收斂,p〉1時發(fā)散
④在p〈1時收斂,p〉1時發(fā)散
10.方程 y'+3xy=6x2y 是 (③ )
①一階線性非齊次微分方程
②齊次微分方程
③可分離變量的微分方程
④二階微分方程
(二)每小題2分,共20分
11.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 ( ④)
①y=ex ②y=x3+1 ③y=x3cosx ④y=ln│x│
12.設f(x)在(a,b)可導,a〈x1〈x2〈b,則至少有一點ζ∈(a,b)使 ( ④)
①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)
②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)
③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)
④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)
13.設f(X)在 X=Xo 的左右導數(shù)存在且相等是f(X)在 X=Xo 可導的 ( ⑤ )
①充分必要的條件
②必要非充分的條件
③必要且充分的條件
④既非必要又非充分的條件
d
。保矗O2f(x)cosx=──[f(x)]2 ,則f(0)=1,則f(x)= ( ③)
dx
①cosx ②2-cosx ③1+sinx ④1-sinx
。保担^點(1,2)且切線斜率為 4x3 的曲線方程為y= ( ③)
①x4 ②x4+c ③x4+1 ④x4-1
1 x
。保叮欤椋 ─── ∫ 3tgt2dt= (② )
x→0 x3 0
1
① 0 ② 1 ③ ── ④ ∞
3
xy
。保罚欤椋 xysin ───── = ( ① )
x→0 x2+y2
y→0
① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1
18.對微分方程 y"=f(y,y'),降階的方法是 (③ )
① 設y'=p,則 y"=p'
dp
② 設y'=p,則 y"= ───
dy
dp
③ 設y'=p,則 y"=p───
dy
1 dp
④ 設y'=p,則 y"=── ───
p dy
∞ ∞
19.設冪級數(shù) ∑ anxn在xo(xo≠0)收斂, 則 ∑ anxn 在│x│〈│xo│ ( ①)
n=o n=o
①絕對收斂 ②條件收斂 ③發(fā)散 ④收斂性與an有關
sinx
20.設D域由y=x,y=x2所圍成,則∫∫ ─────dσ= ( ②)
D x
1 1 sinx
① ∫ dx ∫ ───── dy
0 x x
__
1 √y sinx
② ∫ dy ∫ ─────dx
0 y x
__
1 √x sinx
③ ∫ dx ∫ ─────dy
0 x x
__
1 √x sinx
④ ∫ dy ∫ ─────dx
0 x x
三、計算題(每小題5分,共45分)
___________
/ x-1
1.設 y= / ────── 求 y' 。
√ x(x+3)
sin(9x2-16)
2.求 lim ─────────── 。
x→4/3 3x-4
dx
3.計算 ∫ ─────── 。
(1+ex )2
t 1 dy
。矗Ox= ∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───
0 t dx
5.求過點 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直線方程。
___
6.設 u=ex+√y +sinz,求 du 。
x asinθ
7.計算 ∫ ∫ rsinθdrdθ 。
0 0
y+1
8.求微分方程 dy=( ──── )2dx 通解 。
x+1
3
9.將 f(x)= ───────── 展成的冪級數(shù) 。
(1-x)(2+x)
參考答案: