教學目標

1.了解的概念和的畫法,掌握的三要素;

2.會用上的點表示有理數(shù),會利用比較有理數(shù)的大小;

3.使學生初步了解數(shù)形結合的思想方法,培養(yǎng)學生相互聯(lián)系的觀點。

教學建議

一、重點、難點分析

本節(jié)的重點是初步理解數(shù)形結合的思想方法,正確掌握畫法和用上的點表示有理數(shù),并會比較有理數(shù)的大小.難點是正確理解有理數(shù)與上點的對應關系。的概念包含兩個內(nèi)容,一是的三要素:原點、正方向、單位長度缺一不可,二是這三個要素都是規(guī)定的。另外應該明確的是,所有的有理數(shù)都可用上的點表示,但上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù)。通過學習,使學生初步掌握用解決問題的方法,為今后充分利用“”這個工具打下基礎.

二、知識結構

有了,數(shù)和形得到了初步結合,這有利于對數(shù)學問題的研究,數(shù)形結合是理解數(shù)學、學好數(shù)學的重要思想方法,本課知識要點如下表:

定義	三要素	應用
		數(shù)形結合
規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫	原 點 正方向 單位長度	幫助理解有理數(shù)的概念,每個有理數(shù)都可用上的點表示,但上的點并非都是有理數(shù) 比較有理數(shù)大小,上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)要大	在理解并掌握概念的基礎之上,要會畫出,能將已知數(shù)在上表示出來,能說出上已知點所表示的數(shù),要知道所有的有理數(shù)都可以用上的點表示,會利用比較有理數(shù)的大小。

三、教法建議

小學里曾學過利用射線上的點來表示數(shù),為此我們可引導學生思考:把射線怎樣做些改進就可以用來表示有理數(shù)?伴以溫度計為模型,引出的概念.是一條具有三個要素(原點、正方向、單位長度)的直線,這三個要素是判斷一條直線是不是的根本依據(jù)。與它所在的位置無關,但為了教學上需要,一般水平放置的,規(guī)定從原點向右為正方向。要注意原點位置選擇的任意性。

關于有理數(shù)與上的點的對應關系,應該明確的是有理數(shù)可以用上的點表示,但上的點與有理數(shù)并不存在一一對應的關系。根據(jù)幾個有理數(shù)在上所對應的點的相互位置關系,應該能夠判斷它們之間的大小關系。通過點與有理數(shù)的對應關系及其應用,逐步滲透數(shù)形結合的思想。

四、的相關知識點

1.的概念

(1)規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做.

這里包含兩個內(nèi)容:一是的三要素:原點、正方向、單位長度缺一不可.二是這三個要素都是規(guī)定的.

(2)能形象地表示數(shù),所有的有理數(shù)都可用上的點表示,但上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).

以是理解有理數(shù)概念與運算的重要工具.有了,數(shù)和形得到初步結合,數(shù)與表示數(shù)的圖形(如)相結合的思想是學習數(shù)學的重要思想.另外,能直觀地解釋相反數(shù),幫助理解絕對值的意義,還可以比較有理數(shù)的大小.因此,應重視對的學習.

2.的畫法

(1)畫直線(一般畫成水平的)、定原點,標出原點“O”.

(2)取原點向右方向為正方向,并標出箭頭.

(3)選適當?shù)拈L度作為單位長度,并標出…,-3,-2,-1,1,2,3…各點。具體如下圖。

(4)標注數(shù)字時,負數(shù)的次序不能寫錯,如下圖。

3.用比較有理數(shù)的大小

(1)在上表示的兩數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)由正、負數(shù)在上的位置可知:正數(shù)都有大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)。

(3)比較大小時,用不等號順次連接三個數(shù)要防止出現(xiàn)“ ”的寫法,正確應寫成“ ”。

五、定義的理解

1.規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做,如圖1所示.

2.所有的有理數(shù),都可以用上的點表示.例如:在上畫出表示下列各數(shù)的點(如圖2).

A點表示-4; B點表示-1.5;

O點表示0; C點表示3.5;

D點表示6.

從上面的例子不難看出,在上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大,又從正數(shù)和負數(shù)在上的位置,可以知道:

正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù).

因為正數(shù)都大于0,反過來,大于0的數(shù)都是正數(shù),所以,我們可以用 ,表示 是正數(shù);反之,知道 是正數(shù)也可以表示為 。

同理, ,表示 是負數(shù);反之 是負數(shù)也可以表示為 。

3.正常見幾種錯誤

1)沒有方向

2)沒有原點

3)單位長度不統(tǒng)一

教學設計示例

(一)

教學目標

1.使學生正確理解的意義,掌握的三要素;

2.使學生學會由上的已知點說出它所表示的數(shù),能將有理數(shù)用上的點表示出來;

3.使學生初步理解數(shù)形結合的思想方法.

教學重點和難點

重點:初步理解數(shù)形結合的思想方法,正確掌握畫法和用上的點表示有理數(shù).

難點:正確理解有理數(shù)與上點的對應關系.

課堂教學過程 設計

一、從學生原有認知結構提出問題

1.小學里曾用“射線”上的點來表示數(shù),你能在射線上表示出1和2嗎?

2.用“射線”能不能表示有理數(shù)?為什么?

3.你認為把“射線”做怎樣的改動,才能用來表示有理數(shù)呢?

待學生回答后,教師指出,這就是我們本節(jié)課所要學習的內(nèi)容——.

二、講授新課

讓學生觀察掛圖——放大的溫度計,同時教師給予語言指導:利用溫度計可以測量溫度,在溫度計上有刻度,刻度上標有讀數(shù),根據(jù)溫度計的液面的不同位置就可以讀出不同的數(shù),從而得到所測的溫度.在0上10個刻度,表示10℃;在0下5個刻度,表示-5℃.

與溫度計類似,我們也可以在一條直線上畫出刻度,標上讀數(shù),用直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)和零.具體方法如下(邊說邊畫):

1.畫一條水平的直線,在這條直線上任取一點作為原點(通常取適中的位置,如果所需的都是正數(shù),也可偏向左邊)用這點表示0(相當于溫度計上的0℃);

2.規(guī)定直線上從原點向右為正方向(箭頭所指的方向),那么從原點向左為負方向(相當于溫度計上0℃以上為正,0℃以下為負);

3.選取適當?shù)拈L度作為單位長度,在直線上,從原點向右,每隔一個長度單位取一點,依次表示為1,2,3,…從原點向左,每隔一個長度單位取一點,依次表示為-1,-2,-3,…

提問:我們能不能用這條直線表示任何有理數(shù)?(可列舉幾個數(shù))

在此基礎上,給出的定義,即規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做.

進而提問學生:在上,已知一點P表示數(shù)-5,如果上的原點不選在原來位置,而改選在另一位置,那么P對應的數(shù)是否還是-5?如果單位長度改變呢?如果直線的正方向改變呢?

通過上述提問,向學生指出:的三要素——原點、正方向和單位長度,缺一不可.

三、運用舉例 變式練習

例1 畫一個,并在上畫出表示下列各數(shù)的點:

例2 指出上A,B,C,D,E各點分別表示什么數(shù).

課堂練習

示出來.

2.說出下面上A,B,C,D,O,M各點表示什么數(shù)?

最后引導學生得出結論:正有理數(shù)可用原點右邊的點表示,負有理數(shù)可用原點左邊的點表示,零用原點表示.

四、小結

指導學生閱讀教材后指出:是非常重要的數(shù)學工具,它使數(shù)和直線上的點建立了對應關系,它揭示了數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系,為我們研究問題提供了新的方法.

本節(jié)課要求同學們能掌握的三要素,正確地畫出,在此還要提醒同學們,所有的有理數(shù)都可用上的點來表示,但是反過來不成立,即上的點并不是都表示有理數(shù),至于上的哪些點不能表示有理數(shù),這個問題以后再研究.

五、作業(yè)

1.在下面上:

(1)分別指出表示-2,3,-4,0,1各數(shù)的點.

(2)A,H,D,E,O各點分別表示什么數(shù)?

2.在下面上,A,B,C,D各點分別表示什么數(shù)?

3.下列各小題先分別畫出,然后在上畫出表示大括號內(nèi)的一組數(shù)的點:

(1){-5,2,-1,-3,0}; (2){-4,2.5,-1.5,3.5};

課堂教學設計說明

從學生已有知識、經(jīng)驗出發(fā)研究新問題,是我們組織教學的一個重要原則.小學里曾學過利用射線上的點來表示數(shù),為此我們可引導學生思考:把射線怎樣做些改進就可以用來表示有理數(shù)?伴以溫度計為模型,引出的概念.教學中,的三要素中的每一要素都要認真分析它的作用,使學生從直觀認識上升到理性認識.直線、都是非常抽象的數(shù)學概念,當然對初學者不宜講的'過多,但適當引導學生進行抽象的思維活動還是可行的.例如,向學生提問:在上對應一億萬分之一的點,你能畫出來嗎?它是不是存在等.

數(shù) 軸(二)

一、素質(zhì)教育目標

(一)知識教學點

1.掌握的三要素,能正確畫出.

2.能將已知數(shù)在上表示出來,能說出上已知點所表示的數(shù).

(二)能力訓練點
1.使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練,逐步形成應用數(shù)學的意識.

2.對學生滲透數(shù)形結合的思想方法.

(三)德育滲透點

使學生初步了解數(shù)學來源于實踐,反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點.

(四)美育滲透點

通過畫,給學生以圖形美的教育,同時由于數(shù)形的結合,學生會得到和諧美的享受.

二、學法引導

1.教學方法:根據(jù)教師為主導,學生為主體的原則,始終貫穿“激發(fā)情趣—手腦并用—啟發(fā)誘導—反饋矯正”的教學方法.

2.學生學法:動手畫,動腦概括的三要素,動手、動腦做練習.

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:正確掌握畫法和用上的點表示有理數(shù).

2.難點:有理數(shù)和上的點的對應關系。

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

電腦、投影儀、自制膠片.

六、師生互動活動設計

師生同步畫,學生概括三要素,師出示投影,生動手動腦練習

七、教學步驟

(一)創(chuàng)設情境,引入新課

師:大家知識溫度計的用途是什么?

生:溫度計可以測量溫度

(出示投影1)

三個溫度計.其中一個溫度計的液面在0上20個刻度,一個溫度計的液面在0下5個刻度,一個溫度計的液面在0刻度.

師:三個溫度計所表示的溫度是多少?

生:2℃,-5℃,0℃.

我們能否用類似溫度計的圖形表示有理數(shù)呢?

這種表示數(shù)的圖形就是今天我們要學的內(nèi)容—(板書課題).

【教法說明】從溫度計用標有讀數(shù)的刻度來表示溫度的高低這個事實出發(fā),引出本節(jié)課所要學的內(nèi)容—.再從溫度計這個實物形象抽象出來研究.既激發(fā)了學生的學習興趣,又使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練,培養(yǎng)了用數(shù)學的意識.

(二)探索新知,講授新課

1.的畫法

與溫度計類似,可以在一條直線上畫出刻度,標上讀數(shù),用直線上的點表示正數(shù)、負數(shù)和零,具體做法如下:

第一步:畫直線定原點 原點表示0(相當于溫度計上的0℃).

第二步:規(guī)定從原點向右的為正方向 那么相反的方向(從原點向左)則為負方向.(相當于溫度計上℃以上為正,0℃以下為負).

第三步:選擇適當?shù)拈L度為單位長度 (相當于溫度計上每1℃占1小格的長度).

【教法說明】教師邊講解邊示范,學生跟著一起畫圖.培養(yǎng)學生動手、動腦和實際操作能力,同時,把類比作為一種重要方法貫穿于概念形成過程的始終,讓學生在認知過程中領悟這種思想方法.

讓學生觀察畫好的直線,思考以下問題:

(出示投影1)

(1)原點表示什么數(shù)?

(2)原點右方表示什么數(shù)?原點左方表示什么數(shù)?

(3)表示+2的點在什么位置?表示-1的點在什么位置?

(4)原點向右0.5個單位長度的A點表示什么數(shù)?原點向左 個單位長度的B點表示什么數(shù)?

根據(jù)老師畫圖的步驟,學生思考在一條水平的直線上都畫出什么?然后歸納出的定義.

學生活動:同學們思考,并要求同桌相互敘述,互相糾正補充,語句通順后舉手回答.大家思考準備更正或補充.

【教法說明】通過“觀察—類比—思考—概括—表達”展現(xiàn)知識的形成是從感性認識上升到理性認識的過程,讓學生在獲取知識的過程中,領會數(shù)學思想和思維方法,并有意識地訓練學生歸納概括和口頭表達能力.

教師根據(jù)學生回答給予肯定或否定,糾正后板書.

2.的定義:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做.

向學生提出問題:上為什么要規(guī)定原點、正方向和單位長度呢?它們各起什么作用?引導學生結合溫度訂正確回答這個問題,從而知道三要素的重要性,了解三者缺一不可,認識和掌握判斷一條直線是不是的依據(jù).

學生活動:同桌之間、前后桌之間討論.使學生從直觀認識上升到理性認識.

3.嘗試反饋,鞏固練習

請大家回答下列問題:

(出示投影2)

(1)有人說一條直線是一條,對不對?為什么?

(2)下列所畫對不對?如果不對,指出錯在哪里?

學生活動:學生思考,不準討論,想好后舉手回答.

讓其他學生對其回答進行評判,對確有疑問的題目,教師給予講解.

【教法說明】此組練習的目的是鞏固的概念.

答案:(2)①缺原點,②缺正方向,③不是射線而是直線,④缺單位長度,⑥提醒學生注意在同一數(shù)輪上必須用同一單位長度進行度量.⑤⑦是,同時⑦為學習平面直角坐標系打基礎.

4.有理數(shù)與上點的關系

通過剛才的學習我們知道所有的有理數(shù)都可以用上的點來表示.

例1 畫一條,并畫出表示下列各數(shù)的點:

1,5,0,-2.5, .

學生練習:同學們在練習本上畫一條,然后在上標出各點,一名學生板演.教師巡回指導,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正.

【教法說明】讓學生動手自己畫,有助于培養(yǎng)學生實際操作能力.例1是把給定的有理數(shù)用上的點來表示,完成由“數(shù)”到“形”的思維過程,有助于學生加深對概念的理解.

(出示投影4)

例2 指出上 A、B、C、D、E各點分別表示什么數(shù)?

先讓學生思考一會,然后學生舉手回答

解:A表示-3;B表示 ; C表示3;D表示 ;E表 .

【教法說明】例2是讓學生說出上的點表示的有理數(shù),完成了由“形”到“數(shù)”的思維過程.例1、例2從各自不同的兩個側面,體現(xiàn)出數(shù)形結合,滲透了數(shù)形之間相互轉化的數(shù)學思想.
5.嘗試反饋,鞏固練習

(出示投影5)

①說出下面上A、B、C、D、O、M各點表示什么數(shù)?

②將-3, ,1.5,-6, ,2.25,,-5,1

各數(shù)用上的點表示出來.

【教法說明】①題由點讀數(shù)練習,②題由數(shù)找點練習,進一步鞏固加深本節(jié)所學的內(nèi)容.

(三)歸納小結

師:①是非常重要的數(shù)學工具,它使數(shù)和直線上的點建立了對應關系,它揭示數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系,是幫助學生理解數(shù)學、學習數(shù)學的重要思想方法.本章有理數(shù)的有關性質(zhì)和運算都是結合進行的.

②掌握三要素,正確地畫出,提醒同學們,所有的有理數(shù)都可用上的各點來表示,但是反過來不成立,即上的各點,并不是都表示有理數(shù).以后再研究.

八、隨堂練習

1.判斷題

(1)直線就是( )

(2)是直線( )

(3)任何一個有理數(shù)都可以用上的點來表示()

(4)上到原點距離等于3的點所表示的數(shù)是+3( )

(5)上原點左邊表示的數(shù)是負數(shù),右邊表示的數(shù)是正數(shù),原點表示的數(shù)是0.( )

2.畫一條數(shù)輪,并畫出表示下列各數(shù)的點

,-5,0,+3.2,-1.4

九、布置作業(yè)

(-)必做題:課本第56頁1、2.

(二)選做題:課本第56頁及第57頁B組l.

(三)思考題:

①在數(shù)輪上距原點3個單位長度的點表示的數(shù)是_____________

②在數(shù)輪上表示-6的點在原點的___________側,距離原點___________個單位長度,表示+6的點在原點的__________側,距離原點____________個單位長度.

【教法說明】由于學生在知識、技能、能力方面發(fā)展不盡相同,所以分層次地布置作業(yè) ,兼顧學習有困難和學有余力的學生,使他們都能達到大綱中規(guī)定的基本要求,并使部分學生能發(fā)展他們的數(shù)學才能.

十、板書設計

隨堂練習答案

1.× √ √ × √ 2.略

作業(yè) 答案

(一)必做題

1.(1)依次是

(2)依次是

2.依次是

(二)選做題:

3.略 B組1.(1)-6,(2)-1,(3)3;(4)0

(三)思考題:① ②左,6,右,6

探究活動

(1)在上表示出距離原點3個單位長度和4.5個單位長度的點,并用“ <”號將這些點所表示的數(shù)排列起來;

(2)寫出比-4大但不大于2的所有整數(shù).

分析:畫時,的三要素:原點、正方向、單位長度缺一不可.

(1)在上,距離原點3個單位長度和4.5個單位長度的點各有兩個,它們分別在原點兩旁且關于原點對稱.畫出這些點,這些點所表示的數(shù)的大小就排列出來了;

(2)在上畫出大于-4但不大于2的數(shù)的范圍,這個范圍內(nèi)整數(shù)點所表示的整數(shù)就是所求.“不大于2”的意思是小于或等于2.

解:(1)上,距離原點3個單位的點是+3和-3,距離原點4.5個單位的點是+4.5和-4.5.

由圖看出:

-4.5 <-3<3<4.5

(2)在上畫出大于-4但不大于2的數(shù)的范圍.

由圖知,大于-4但不大于2的整數(shù)是:-3,-2,-1,0,1,2.

點評:利用,數(shù)形結合,是解這一類問題的好方法.