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偏微分方程試題及答案
偏微分方程是一門專業(yè)性比較強(qiáng)的課程,要學(xué)好這門課程,同學(xué)們還是要用心去學(xué)才能學(xué)好偏微分方程。下面是陽(yáng)光網(wǎng)小編給大家整理的偏微分方程試題及答案,歡迎大家學(xué)習(xí)參考。
偏微分方程試題及答案
一、填空題(每小題3 分,共15 分)
1.對(duì)常系數(shù)方程作未知函數(shù)的變換 可以將所有一階微商消失.
2.設(shè) 是光滑凸函數(shù), ( , ) u x t 是熱傳導(dǎo)放程 0 t u u ? ? ? 的解,則 ( ) u ? 是熱傳導(dǎo)方程 的 (下解;上解;解).
3.上半平面的 Green 函數(shù) G(x,y)為 ,其中 1 2 ( , ) y y y為上半平面中某固定點(diǎn).
4.設(shè)函數(shù) u 在以曲面? 為邊界的區(qū)域? 內(nèi)調(diào)和,在? ? 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則其中n 是? 的外法方向.
5.熱傳導(dǎo)方程 2 ( ) 0 t xx yy u a u u 的特征曲面為 . 得分 第 2 頁(yè) 共5 頁(yè)
二、計(jì)算題(每小題10 分,共40 分)
1.求解初值問(wèn)題 其中, , b c R ? 都是常數(shù).
2.試用延拓法求解半有界直線上的熱傳導(dǎo)方程的邊值問(wèn)題:得分 第 3 頁(yè) 共5 頁(yè)
3.試求解 解的一般形式. 第 4 頁(yè) 共5 頁(yè)
三、判斷分析題(10 分) 試判斷下面命題是否成立,并說(shuō)明原因. 在證明Hopf 引理的`過(guò)程中,我們能夠作出一個(gè)輔助函數(shù) ( ) v x 滿足 (a)在球面 ( ) R B y ? 上 0; v ? (b)v 沿球 ( ) R B y 的半徑方向的方向?qū)?shù) v ? ? ? <0; (c)在整個(gè)球 ( ) R B y 內(nèi)下調(diào)和. 四、分析計(jì)算題(15 分) 試判斷下列方程的類型,并根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型求出此方程的通解. 得分 得分 第 5 頁(yè) 共5 頁(yè) 五、證明題(下面兩道題請(qǐng)任選一題)(20 分) 1.設(shè)G 是 2 R 中有界區(qū)域,試?yán)米C明熱傳導(dǎo)方程解的最大值原理的方法證明: 滿足方程 0 xx yy u u ? ? 的函數(shù)u(x,y) 在G 上的最大值不會(huì)超過(guò)它在邊界 G ? 上的最大值.
2.試用能量法(即用格林第一公式法)證明n 維Laplace 方程的第三邊值問(wèn)題 1 2 n u(x) 0, x=(x , x , , x ) , 0 u u f n
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