工程數(shù)學(xué)試題及答案

　　工程數(shù)學(xué)是為了讓工科學(xué)生用更加方便的理論工具來處理工程常見問題。以下是由陽(yáng)光網(wǎng)小編整理關(guān)于工程數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容，希望大家喜歡!

　　工程數(shù)學(xué)試題

　　一、單項(xiàng)選擇題 (每小題3分，共15分)

　　1.某人打靶3發(fā)，事件Ai 表示“擊中i發(fā)”，i=0,1,2,3. 那么事件 A=A1∪A2∪A3表示( )。

　　A. 全部擊中. B. 至少有一發(fā)擊中. C. 必然擊中 D. 擊中3發(fā) 2.對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，則有( )。 A. X和Y獨(dú)立。 B. X和Y不獨(dú)立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)

　　3.下列各函數(shù)中可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是( )。

　　0.5|x|22(1|x|)|x|1 A. f(x)。 B. f(x)

　　0其它0其它

　　(x)12

　　e2

　　C. f(x)2

　　0

　　2

　　x0

　　exx0

　　D. f(x)，

　　0其它x0

　　4.設(shè)隨機(jī)變量X～N(,42), Y～N(,52), P1P{X4}, P2P{Y5}, 則有( )

　　A. 對(duì)于任意的, P1=P2 B. 對(duì)于任意的, P1 < P2 C. 只對(duì)個(gè)別的，才有P1=P2 D. 對(duì)于任意的, P1 > P2 5.設(shè)X為隨機(jī)變量，其方差存在，c為任意非零常數(shù)，則下列等式中正 確的是( )

　　A.D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

　　二、填空題 (每空3分，共15分)

　　1. 設(shè)3階矩陣A的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為A*， 則|A*+3A –2E|= 。

　　011200

　　2.設(shè)A= 101~0x0，則x。

　　110001

　　3.設(shè)有3個(gè)元件并聯(lián)，已知每個(gè)元件正常工作的'概率為P，則該系統(tǒng)正 常工作的概率為 。

　　2x0xA

　　4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則概率

　　0其它

　　1

　　P(X)。

　　2

　　5.設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

　　ke(3x4y)當(dāng)x0,y0

　　f(x,y)，則系數(shù)k 。

　　其它0

　　三、計(jì)算題 (每小題10分，共50分)

　　1.求函數(shù)f(t)et的傅氏變換 (這里0)，并由此證明：

　　costt

　　e2220

　　2.發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“1”和“0”。由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“1”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“1”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號(hào)“1”和“0”;同時(shí)，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9和0.1收到信號(hào)“0”和“1”。求 (1)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”的概率;

　　(2)當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“1”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“1”的概率。

　　ce(2x4y)x0,y0

　　3.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)是f(x,y)

　　其它0

　　求：(1)常數(shù)c;(2)概率P(X≥Y );(3)X與Y相互獨(dú)立嗎請(qǐng)說出理由。

　　4.將n個(gè)球隨機(jī)的放入N個(gè)盒子中去，設(shè)每個(gè)球放入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。

　　5.設(shè)一口袋中依此標(biāo)有1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個(gè)球。從中任取一球，記隨機(jī)變量X為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求 (1)X的概率分布律和分布函數(shù)。(2)EX

　　四、證明題 (10分)

　　設(shè)a=(a1,a2,,an)T，a1≠0,其長(zhǎng)度為║a║，又A=aaT, (1)證明A2=║a║2A;

　　(2)證明a是A的一個(gè)特征向量，而0是A的n-1重特征值; (3)A能相似于對(duì)角陣Λ嗎若能,寫出對(duì)角陣Λ.

　　五、應(yīng)用題 (10分)

　　設(shè)在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X是隨機(jī)變量,它在[2000,4000]( 單位：噸 )上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國(guó)家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉(cāng)庫(kù)，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大。

　　工程數(shù)學(xué)試題答案

　　一、單項(xiàng)選擇題 (每小題3分，共15分)

　　1.B 2.C 3.D 4.A 5.A

　　二、填空題 (每空3分，共15分)

　　1. 9 2. 1 3 1–(1–P)3 4. 3/4 5. 12

　　三、計(jì)算題 (每小題10分，共50分) 1.解答：函數(shù)f(t)的付氏變換為：

　　|t|jt

　　(j)t

　　F(w)=[e|t|]eedtedte(j)tdt=11222　jj

　　由付氏積分公式有

　　1f(t)=[F(w)]=21jtF()ed1=22(costjsint)d 2222costd221==2cost220

　　所以

　　costte2220

　　2.解答: 設(shè) A1=“發(fā)出信號(hào)1”，A0=“發(fā)出信號(hào)0”，A=“收到信號(hào)1”

　　(1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由貝葉斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x0.6/0.52=12/13 3.解答:(1)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有

　　dxf(x,y)dy1

　　即 dxce(2x4y)dy1

　　從而 c=8

　　x

　　(2)P(XY)

　　xy

　　f(x,y)dxdy

　　(2x4y)

　　dydx8e0

　　2

　　3

　　(3) 當(dāng)x>0時(shí)， fX(x)

　　f(x,y)dy8e(2x4y)dy2e2x

　　當(dāng)x<=0時(shí), fX(x)0

　　4e4yy0

　　同理有 fY(y)

　　其它0因 f(x,y)fX(x)fY(y)

　　x,y

　　故X與Y相互獨(dú)立

　　1

　　4.解答：設(shè) Xi

　　0

　　N

　　第i個(gè)盒子有球

　　i =1,2,,N

　　否則

　　則 XXi

　　i1

　　(N1)n

　　因 P(Xi0) n

　　N

　　(N1)n

　　P(Xi1)1P(Xi0)1 n

　　N

　　(N1)n

　　因而 EXi0P(Xi0)1P(Xi1)1

　　Nn

　　所以 EXEXiN(1(1

　　i1

　　N

　　1n

　　)) N

　　5.解答：

　　(1)隨機(jī)變量X的取值為1，2，3。 132依題意有：P{X1};P{X2};P(X3) 666

　　X的分布函數(shù)F(x)P{Xx}

　　由條件知：當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)(x)0;

　　1P(X1); 當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)(x)6

　　2P(X1)P(X2); 當(dāng)2x3時(shí)，F(xiàn)(x)3

　　1; 當(dāng)x3時(shí)，F(xiàn)(x)

　　(2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6

　　四、證明題 (10分)

　　(1) A2=aaT·aaT=aTa ·aaT =║a║2A

　　(2)因 Aa= aaT ·a=aTa·a= ║a║2a

　　故a是A的一個(gè)特征向量。

　　又A對(duì)稱，故A必相似于對(duì)角陣

　　設(shè)A∽ diag(λ1,λ2,,λn)=B, 其中λ1,λ2,,λn是A的特征值

　　因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1

　　從而λ1,λ2,,λn中必有n-1個(gè)為0, 即0是A的'n-1重特征值

　　(3) A對(duì)稱，故A必相似于對(duì)角陣Λ，

　　五、應(yīng)用題 (10分)

　　解答:設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只介于2000與4000

　　之間，用Z表示國(guó)家的收益(萬元),

　　3yXy則有 Zg(X) 3X(yX)Xy

　　因 X服從R(2000,4000), 故有

　　1/20002000x4000 fX(x)其它0

　　所以

　　3x(yx)EZg(x)fX(x)dxdx20002000y4000y3y 2000

　　=–( y2 –7000y + 4106 ) /1000 求極值得 y=3500 (噸)

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