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      高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式詳解分析

      時間:2022-10-11 19:10:51 高考數(shù)學(xué) 我要投稿
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      高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式詳解分析

        公式一:

      高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式詳解分析

        設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

        sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)

        cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)

        tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)

        cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)

        公式二:

        設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

        sin(π+α)=-sinα

        cos(π+α)=-cosα

        tan(π+α)=tanα

        cot(π+α)=cotα

        公式三:

        任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

        sin(-α)=-sinα

        cos(-α)=cosα

        tan(-α)=-tanα

        cot(-α)=-cotα

        公式四:

        利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

        sin(π-α)=sinα

        cos(π-α)=-cosα

        tan(π-α)=-tanα

        cot(π-α)=-cotα

        公式五:

        利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

        sin(2π-α)=-sinα

        cos(2π-α)=cosα

        tan(2π-α)=-tanα

        cot(2π-α)=-cotα

        公式六:

        π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

        sin(π/2+α)=cosα

        cos(π/2+α)=-sinα

        tan(π/2+α)=-cotα

        cot(π/2+α)=-tanα

        sin(π/2-α)=cosα

        cos(π/2-α)=sinα

        tan(π/2-α)=cotα

        cot(π/2-α)=tanα

        sin(3π/2+α)=-cosα

        cos(3π/2+α)=sinα

        tan(3π/2+α)=-cotα

        cot(3π/2+α)=-tanα

        sin(3π/2-α)=-cosα

        cos(3π/2-α)=-sinα

        tan(3π/2-α)=cotα

        cot(3π/2-α)=tanα

        (以上k∈Z)

        注意:在做題時,將a看成銳角來做會比較好做。

        誘導(dǎo)公式記憶口訣

        ※規(guī)律總結(jié)※

        上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:

        對于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值,

       、佼攌是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;

        ②當k是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

        (奇變偶不變)

        然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

        (符號看象限)

        例如:

        sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。

        當α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

        所以sin(2π-α)=-sinα

        上述的記憶口訣是:

        奇變偶不變,符號看象限。

        公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

        所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

        水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。

        #

        各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.

        這十二字口訣的意思就是說:

        第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;

        第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

        第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;

        第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

        上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦

        #

        還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負:

        函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

        正弦 ...........+............+............—............—........

        余弦 ...........+............—............—............+........

        正切 ...........+............—............+............—........

        余切 ...........+............—............+............—........

        同角三角函數(shù)基本關(guān)系

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

        倒數(shù)關(guān)系:

        tanα·cotα=1

        sinα·cscα=1

        cosα·secα=1

        商的關(guān)系:

        sinα/cosα=tanα=secα/cscα

        cosα/sinα=cotα=cscα/secα

        平方關(guān)系:

        sin^2(α)+cos^2(α)=1

        1+tan^2(α)=sec^2(α)

        1+cot^2(α)=csc^2(α)

        同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

        六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

        構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

        (1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

        (2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

        (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。

        (3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

        兩角和差公式

        兩角和與差的三角函數(shù)公式

        sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

        sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

        cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

        cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

        tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

        tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

        二倍角公式

        二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)

        sin2α=2sinαcosα

        cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

        tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

        半角公式

        半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)

        sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

        cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

        tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

        另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

        萬能公式

        sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

        cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

        tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

        萬能公式推導(dǎo)

        附推導(dǎo):

        sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,

        (因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)

        再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

        然后用α/2代替α即可。

        同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

        三倍角公式

        三倍角的正弦、余弦和正切公式

        sin3α=3sinα-4sin^3(α)

        cos3α=4cos^3(α)-3cosα

        tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

        三倍角公式推導(dǎo)

        附推導(dǎo):

        tan3α=sin3α/cos3α

        =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

        =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

        上下同除以cos^3(α),得:

        tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

        sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

        =2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

        =2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

        =3sinα-4sin^3(α)

        cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

        =(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

        =2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

        =4cos^3(α)-3cosα

        即

        sin3α=3sinα-4sin^3(α)

        cos3α=4cos^3(α)-3cosα

        三倍角公式聯(lián)想記憶

        ★記憶方法:諧音、聯(lián)想

        正弦三倍角:3元 減 4元3角(欠債了(被減成負數(shù)),所以要“掙錢”(音似“正弦”))

        余弦三倍角:4元3角 減 3元(減完之后還有“余”)

        ☆☆注意函數(shù)名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。

        ★另外的記憶方法:

        正弦三倍角: 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα, 無指的是減號, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方

        余弦三倍角: 司令無山 與上同理

        和差化積公式

        三角函數(shù)的和差化積公式

        sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

        sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

        cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

        cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

        積化和差公式

        三角函數(shù)的積化和差公式

        sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

        cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

        cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

        sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

        和差化積公式推導(dǎo)

        附推導(dǎo):

        首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

        我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

        所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

        同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

        同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

        所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

        所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

        同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

        這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:

        sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

        cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

        cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

        sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

        有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式。

        我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

        把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

        sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

        sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

        cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

        cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

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