高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之直線和圓的方程

　　第八章 直線和圓的方程

　　8.1 直線與方程

　　典例精析

　　題型一 直線的傾斜角

　　【例1】直線2xcos α-y-3=0，α∈[π/6，π/3]的傾斜角的變化范圍是( )

　　A.[π/6，π3] B.[π/4，π/3]

　　C.[π/4，π/2] D.[π/4，2π/3]

　　【解析】直線2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α，

　　由于α∈[π/6，π/3]，所以1/2≤cos α≤√3/2，k=2cos α∈[1，√3].

　　設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，√3]，

　　由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π/4，π/3]，即傾斜角的變化范圍是[π/4，π/3]，故選B.

　　【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí)，要注意傾斜角的范圍.

　　【變式訓(xùn)練1】已知M(2m+3，m)，N(m-2,1)，當(dāng)m∈時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角;當(dāng)m=  時(shí)，直線MN的傾斜角為直角;當(dāng)m∈時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角.

　　【解析】直線MN的傾斜角為銳角時(shí)，k=m-1/2m+3-m+2=m-1/m+5>0---m<-5或m>1;

　　直線MN的傾斜角為直角時(shí)，2m+3=m-2----m=-5;

　　直線MN的傾斜角為鈍角時(shí)，k=m-1/2m+3-m+2=m-1/m+5<0 得 -5<m<1.< p="">

　　題型二 直線的斜率

　　【例2】已知A(-1，-5)，B(3，-2)，直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍，求直線l的斜率.

　　【解析】由于A(-1，-5)，B(3，-2)，所以kAB=-2+5/3+1=3/4，

　　設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tan θ=3/4，

　　l的傾斜角為2θ，tan 2θ= 2tan θ/1-tan2θ=2×(3/4)/1-(3/4)2=24/7.

　　所以直線l的斜率為24/7.

　　【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念，扎實(shí)地記住計(jì)算公式，傾斜角往往會和三角函數(shù)的有關(guān)知識聯(lián)系在一起.

　　【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線l的傾斜角，且有sin α+cos α=1/5，則直線l的斜率為( )

　　A.3/4        B.4/3     C.-4/3      D.-3/4或-4/3

　　【解析】選C.sin α+cos α=1/5 sin αcos α=-12/25<0

　　sin α=4/5，cos α=-3/5或cos α=4/5，sin α=-3/5(舍去)，

　　故直線l的斜率k=tan α=sin α/cos α=-4/3.

　　題型三 直線的方程

　　【例3】求滿足下列條件的直線方程.

　　(1)直線過點(diǎn)(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等;

　　(2)直線過點(diǎn)(2,1)，且原點(diǎn)到直線的距離為2.

　　【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí)，直線過原點(diǎn)，直線方程是2x-3y=0;當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為xa+ya=1，把(3,2)代入，得a=5，直線方程為x+y-5=0.

　　故所求直線方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

　　(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程x-2=0合題意;

　　當(dāng)斜率存在時(shí)，則設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0，所以|1-2k|/√（k2+1）=2，解得k=-3/4，方程為3x+4y-10=0.

　　故所求直線方程為x-2=0或3x+4y-10=0.

　　【點(diǎn)撥】截距可以為0，斜率也可以不存在，故均需分情況討論.

　　【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3，-4)，且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.

　　【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx.

　　因?yàn)橹本�過點(diǎn)P(3，-4)，所以-4=3k，得k=-4/3.此時(shí)直線方程為y=-4/3x.

　　當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí)，設(shè)直線的方程為x/a+y/-a=1，

　　因?yàn)橹本�過點(diǎn)P(3，-4)，所以a=3+4=7.此時(shí)方程為x-y-7=0.

　　綜上，所求直線方程為4x+3y=0或x-y-7=0.

　　題型四 直線方程與最值問題

　　【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△ABO的面積最小時(shí)，求直線l的方程.

　　【解析】方法一：設(shè)直線方程為x/a+y/b=1(a>0，b>0)，

　　由于點(diǎn)P在直線上，所以2/a+1/b=1.

　　2/a*1/b≤{(2/a+1/b）/2}2=1/4，

　　當(dāng)2/a=1/b=1/2時(shí)，即a=4，b=2時(shí)，1/a*1/b取最大值18，

　　即S△AOB=1/2ab取最小值4，

　　所求的直線方程為x/4+y/2=1，即x+2y-4=0.

　　方法二：設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)(k<0)，

　　直線與x軸的交點(diǎn)為A(（2k-1)/k，0)，直線與y軸的交點(diǎn)為B(0，-2k+1)，

　　由題意知2k-1<0，k<0,1-2k>0.

　　S△AOB=1/2(1-2k) *（2k-1）/k=1/2[(-1/k)+(-4k)+4]≥1/2[2{√(-1k)(-4k)}+4]=4.

　　當(dāng)-1/k=-4k，即k=-1/2時(shí)，S△AOB有最小值，

　　所求的直線方程為y-1=-1/2(x-2)，即x+2y-4=0.

　　【點(diǎn)撥】求直線 方程，若已知直線過定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式;若已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式;若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式;若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.

　　【變式訓(xùn)練4】已知直線l：mx-(m2+1)y=4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.

　　【解析】由直線l的方程得其斜率k=m/（m2+1）.

　　若m=0，則k=0;

　　若m>0，則k=1/(m+1/m)≤1/2√m*1/m=1/2，所以0<k≤1/2;

　　若m<0，則k=1/(m+1/m）=-1/-m-1/m≥-1/2√(-m)(-1/m)=-1/2，所以-1/2≤k<0.

　　綜上，-1/2≤k≤1/2.

　　總結(jié)提高

　　1.求斜率一般有兩種類型：其一，已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)k=y2-y1/x2-x1求斜率;其二，已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值，根據(jù)k=tan α求斜率，但要注意斜率不存在時(shí)的情形.

　　2.求傾斜角時(shí)，要注意直線傾斜角的范圍是[0，π).

　　3.求直線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目條件，選擇合適的直線方程形式，從而使求解過程簡單明確.設(shè)直線方程的截距式，應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線;設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.

　　8.2 兩條直線的位置關(guān)系

　　典例精析

　　題型一 兩直線的交點(diǎn)

　　【例1】若三條直線l1：2x+y-3=0，l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0 不能構(gòu)成三角形，求a的值.

　　【解析】①l3∥l1時(shí)，-a=-2a=2;

　�、趌3∥l2時(shí)，-a=3a=-3;

　�、塾�2x+y+3=0,3x-y+2=0得x=-1,y=-1 將(-1，-1)代入ax+y=0a=-1.

　　綜上，a=-1或a=2或a=-3時(shí)，l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.

　　【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形.

　　【變式訓(xùn)練1】已知兩條直線l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3)，則過A(a1，b1)，B(a2，b2)的直線方程是

　　【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0

　　故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐標(biāo)滿足方程2x+3y+1=0，

　　即直線2x+3y+1=0必過A(a1，b1)，B(a2，b2)兩點(diǎn).

　　題型二 兩直線位置關(guān)系的判斷

　　【例2】已知兩條直線l1：ax-by+4=0和l2：(a-1)x+y+b=0，求滿足下列條件的a，b的值.

　　(1)l1⊥l2，且l1過點(diǎn)(-3，-1);

　　(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.

　　【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，

　　所以k2=1-a，若k2=0，則1-a=0，即a=1.

　　因?yàn)閘1⊥l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b=0，

　　又l1過點(diǎn)(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，

　　而a=1，b=0代入上式不成立，所以k2≠0.

　　因?yàn)閗2≠0，即k1，k2都存在，

　　因?yàn)閗2=1-a，k1=ab，l1⊥l2， 所以k1k2=-1，即ab(1-a)=-1，

　　又l1過點(diǎn)(-3，-1)，所以-3a+b+4=0，

　　聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a=2，b=2.

　　(2)因?yàn)閘2的斜率存在，又l1∥l2，所以k 1=k2，即ab=(1-a)，

　　因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1∥l2，

　　所以 l1，l2在y軸的截距互為相反數(shù)，即4/b=b，

　　聯(lián)立上述方程解得a=2，b=-2或a=2/3，b=2，

　　所以a，b的值分別為2和-2或2/3和2.

　　【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)=kx+b時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊 情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問題時(shí)，主要是利用直線平行和垂直的充要條件，即“斜率相等”或“斜率互為負(fù)倒數(shù)”.

　　【變式訓(xùn)練2】如上圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).點(diǎn)P(0，p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里a，b，c，p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1/b-1/c)x+(/1p-1/a)y=0，則直線OF的方程為                       .

　　【解析】由截距式可得直線AB：x/b+y/a=1，直線CP：x/c+y/p=1，兩式相減得(1/c-1/b)x+(1/p-1/a)y=0，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故所求直線OF的方程為(1/c-1/b)x+(1/p-1/a)y=0.

　　題型三 點(diǎn)到直線的距離

　　【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，√m)(1<m<4)，當(dāng)△abc的面積s最大時(shí)，求m的值.

　　【解析】因?yàn)锳(1,1)，B(4,2)，所以|AB|=√{(4-1)2+(2-1)2}=√10，

　　又因?yàn)橹本�AB的方程為x-3y+2=0，

　　則點(diǎn)C(m，√m)到直線AB的距離即為△ABC的高，

　　設(shè)高為h，則h=|m-3√m+2|/√{12+(-3)2}，S=1/2|AB|*h=1/2*|m-3√m+2|，

　　令m=t，則1<t<2，所以s=1/2|m-3√m+2|=12|t2-3t+2|=12|(t-3/2)2-1/4|，

　　由圖象可知，當(dāng)t =3/2時(shí)，S有最大值1/8，此時(shí)√m=3/2，所以m=9/4.

　　【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用處理代數(shù)問題的方法解決.

　　【變式訓(xùn)練3】若動點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)分別在直線l1：x-y-5=0，l2：x-y-15=0上移動，求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.

　　【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上，

　　所以x1-y1-5=0①x2-y2-15=0②

　　(①+②)÷2，得x1+x2/2-y1+y2/2-10=0，所以P1P2的中點(diǎn)P(x1+x2/2，y1+y2/2)在直線x-y-10=0上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x-y-10=0的距離d=10/√2=5√2.所以，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5√2.

　　方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.

　　令l：x-y-c=0，則5<c<15，且|c-5|/√2=|c-15|/√2，

　　解得c=10.所以l的方程為x-y-10=0.

　　由題意知，P1P2的中點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d=10/√2=5√2，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為5√2.

　　總結(jié)提高

　　1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩直線平行或垂直的條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”.若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.

　　2.學(xué)會用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等基本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法，根據(jù)題意畫出圖形不僅易于找到解題思路，還可以避免漏解和增解，同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì)，挖掘出某些隱含條件，找到簡捷解法.

　　3.運(yùn)用公式d=|C1-C2|/√{A2+B2}求兩平行直線之間的距離時(shí)，要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對應(yīng)相等.

　　8.3 圓的方程

　　典例精析

　　題型一 求圓的方程

　　【例1】求經(jīng)過兩點(diǎn)A(-1,4)，B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.

　　【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則圓心為(-D/2，-E/2)，

　　由已知得 1+16-D+4E+F=0,9+4+3D+2E+F=0,-D/2=0即D-4E-F=0,3D+2E+F=-13,D=0

　　解得 D=0，E=-2，F(xiàn)=-9，所求圓的方程為x2+y2-2y-9=0.

　　方法二：經(jīng)過A(-1,4)，B(3,2)的圓，其圓心在線段AB的垂直平分線上，

　　AB的垂直平分線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

　　令x=0，y=1，圓心為(0,1)，r=√10 ，

　　圓的方程為x2+(y-1)2=10.

　　【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù)，只要求出a、b、r或D、E、F，則圓的方程確定，所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件.

　　【變式訓(xùn)練1】已知一圓過P(4，-2)、Q(-1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4√3，求圓的方程.

　　【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，①

　　將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得4D-2E+F=-20② D-3E-F=0③

　　令x=0，由①得y2+Ey+F=0，④

　　由已知|y1-y2|=4√3，其中y1、y2是方程④的兩根.

　　所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，⑤

　　解②、③、⑤組成的方程組，得

　　D=-2，E=0，F(xiàn)=-12或D=-10，E=-8，F(xiàn)=4，

　　故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.

　　題型二 與圓有關(guān)的最值問題

　　【例2】若實(shí)數(shù)x，y滿足(x-2)2+y2=3.求：

　　(1)y/x的最大值和最小值;

　　(2)y-x的最小值;

　　(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.

　　【解析】(1)y/x=y-0/x-0，即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率，因此 yx的最值為過原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率，設(shè)y/x=k，y=kx，kx-y=0.

　　由|2k|√(k2+1)=√3，得k=±√3，所以y/x的最大值為√3，y/x的最小值為-√3.

　　(2)令x-2=√3cos α，y=√3sin α，α∈[0,2π).

　　所以y-x=√3sin α-√3cos α-2=√6sin(α-π/4)-2，

　　當(dāng)sin(α-π/4)=-1時(shí)，y-x的最小值為-√6-2.

　　(3)(x-4)2+(y-3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方，因?yàn)閳A心為A(2,0)，B(4,3)，

　　連接AB交圓于C，延長BA交圓于D.

　　|AB|=(4-2)2+(3-0)2=√13，則|BC|=√13-√3，|BD|=√13+√3，

　　所以(x-4)2+(y-3)2的最大值為(√13+√3)2，最小值為(√13-√3)2.

　　【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問題，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地：①形如U=y-bx-a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;②形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動圓半徑的最值問題.

　　【變式訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=3(y≥0).試求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范圍.

　　【解析】如圖，m可看作半圓x2+y2=3(y≥0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(-3，-1)連線的斜率，b可以看作過半圓x2+y2=3(y≥0)上的點(diǎn)且斜率為-2的直線的縱截距.

　　由圖易得3-36≤m≤3+216，-23≤b≤15.

　　題型三 圓的方程的應(yīng)用

　　【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

　　(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

　　(2)求圓C的方程;

　　(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請證明你的結(jié)論.

　　【解析】(1)令x=0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)，

　　由題意b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.

　　(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

　　令y=0，得x2+Dx+F=0，這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程，故D=2，F(xiàn)=b.

　　令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E=-b-1.

　　所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

　　(3)圓C必過定點(diǎn)，證明如下：

　　假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)(x0，y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，

　　并變形為x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0，(*)

　　為使(*)式對所有滿足b<1(b≠0)的b都成立，必須有1-y0=0，

　　結(jié)合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0，

　　解得 或

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(-2,1)均在圓C上，因此圓C過定點(diǎn).

　　【點(diǎn)撥】本題(2)的解答用到了代數(shù)法求過三點(diǎn)的圓的方程，體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想，同時(shí)問題體現(xiàn)了較強(qiáng)的探究性.

　　【變式訓(xùn)練3】(2010安徽)動點(diǎn)A(x，y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(12，32)，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )

　　A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[ 0,1]和[7,12]

　　【解析】選D.由題意知角速度為2π12=π6，故可得y=sin(π6t+π3),0≤t≤12，

　　π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.

　　所以單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]和[7,12].

　　總結(jié)提高

　　1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”是解題的基本方法.一般來講，條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn)，可選擇一般方程;條件涉及圓心和半徑，可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　2.解決與圓有關(guān)的問題，應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問題.

　　8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

　　典例精析

　　題型一 直線與圓的位置關(guān)系的判斷

　　【例1】已知圓的方程x2+y2=2，直線y=x+b，當(dāng)b為何值時(shí)，

　　(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);

　　(2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

　　【解析】方法一：(幾何法)

　　設(shè)圓心O(0,0)到直線y=x+b的距離為d，d=|b|12+12=|b|2，半徑r=2.

　　當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交，|b|2<2，-2<b<2，< p="">

　　所以當(dāng)-2<b<2時(shí)，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn).< p="">

　　當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切， |b|2=2，b=±2，

　　所以當(dāng)b=±2時(shí)，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

　　方法二：(代數(shù)法)

　　聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組

　　消去y得2x2+2bx+b2-2=0，Δ=16-4b2.

　　當(dāng)Δ>0，即-2<b<2時(shí)，有兩 p="">

　　當(dāng)Δ=0，即b=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn).

　　【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.

　　【變式訓(xùn)練1】圓2x2+2y2=1與直線xsin θ+y-1=0(θ∈R，θ≠kπ+π2，k∈Z)的位置關(guān)系是( )

　　A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定

　　【解析】選A.易知圓的半徑r=22，設(shè)圓心到直線的距離為d，則d=1sin2θ+1.

　　因?yàn)棣取佴?+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，

　　所以22r，所以直線與圓相離.

　　題型二 圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

　　【例2】如果圓C：(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2+y2=1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，符合題意，故應(yīng)滿足2-1<|OC|<2+1，

　　所以1

　　所以-322

　　【變式訓(xùn)練2】兩圓(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 .

　　【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(-1,1)，(2，-2)，則過它們圓心的直線方程為x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1，即y=-x.

　　根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過它們圓心的直線對稱.

　　故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2，-1).

　　題型三 圓的弦長、中點(diǎn)弦的`問題

　　【例3】已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0.

　　(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為43，求l的方程;

　　(2)求圓C內(nèi)過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

　　【解析】(1)如圖，AB=43，D是AB的中點(diǎn)，則AD=23，AC=4，

　　在Rt△ADC中，可得CD=2.

　　設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為 y-5=kx，即kx-y+5=0.由點(diǎn)C到直線的距離公式|-2k-6+5|k2+1=2，

　　得k=34，此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0.

　　又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)的方程為x=0.

　　所以所求直線為x=0或3x-4y+20=0. (也可以用弦長公式求解)

　　(2)設(shè)圓C上過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，

　　因?yàn)镃D⊥PD，所以 =0，即(x+2，y-6)(x，y-5)=0，

　　化簡得軌跡方程x2+y2+2x-11y+30=0.

　　【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問題時(shí)，注意運(yùn)用“平方差法”，即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，

　　由 得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.

　　該法常用來解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問題.

　　【變式訓(xùn)練3】已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0，設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )

　　A.106 B.206 C.306 D.406

　　【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+(y-4)2=25，過點(diǎn)(3,5)的最長弦為AC=10，最短弦為BD=252-12=46，S=12ACBD=206.

　　總結(jié)提高

　　1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時(shí)要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復(fù)雜，利用l=2R2-d2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便.

　　2.處理直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，要全面地考查各種位置關(guān)系，防止漏解，如設(shè)切線為點(diǎn)斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.

　　3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，特別是有關(guān)交點(diǎn)問題時(shí)，為避免計(jì)算量過大，常采用“設(shè)而不求”的方法.

　　8.5 直線與圓的綜合應(yīng)用

　　典例精析

　　題型一 直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

　　【例1】已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25及直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).

　　(1)求證：不論m為何值，直線l恒過定點(diǎn);

　　(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;

　　(3)求直線l被圓截得的弦長最短時(shí)的弦長及此時(shí)直線的方程.

　　【解析】(1)證明：直線方程可寫作x+y-4+m(2x+y-7)=0，

　　由方程組 可得

　　所以不論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)(3,1).

　　(2)由(3-1)2+(1-2)2=5<5，

　　故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi)，即不論m取何值，直線l總與圓C相交.

　　(3)由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時(shí)，弦|AB|最短.

　　|AB|=2r2-|CM|2=225-[(3-1)2+(1-2)2]=45，

　　此時(shí) k=-1kCM，即-2m+1m+1=-1-12=2，

　　解得m=-34，代入原直線方程，得l的方程為2x-y-5=0.

　　【點(diǎn)撥】解決弦長問題時(shí)，可利用弦長的幾何意義求解.

　　【變式訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x)=-1beax的圖象在x=0處的切線l與圓C：x2+y2=1相離，則P(a，b)與圓C的位置關(guān)系是( )

　　A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不能確定

　　【解析】選B.f(x)=-1beaxf′(x)=-abeaxf′(0)=-ab.

　　又f(0)=-1b，所以切線l的方程為y+1b=-ab(x-0)，即ax+by+1=0，

　　由l與圓C：x2+y2=1相離得1a2+b2>1a2+b2<1，即點(diǎn)P(a，b)在圓內(nèi)，故選B.

　　題型二 和圓有關(guān)的對稱問題

　　【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足 =0.

　　(1)求m的值;

　　(2)求直線PQ的方程.

　　【解析】(1)曲線方程可化為(x+1)2+(y-3)2=9，是圓心為(-1,3)，半徑為3的圓.

　　因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱，

　　所以圓心(-1,3)在直線x+my+4=0上，代入得m=-1.

　　(2)因?yàn)橹本�PQ與直線y=x+4垂直，所以設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

　　則直線PQ的方程為y=-x+b.將直線y=-x+b代入圓的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，Δ=4(4-b)2-4×2(b2-6b+1)>0，解得2-32<b<2+32.< p="">

　　x1+x2=b-4，x1x2=b2-6b+12，

　　y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12，

　　因?yàn)?=0，所以x1x2+y1y2=0，

　　即b2-6b+12+b2+2b+12=0，得b=1.

　　故所求的直線方程為y=-x+1.

　　【點(diǎn)撥】平面向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，解題時(shí)，一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件，將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系，另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問題.

　　【變式訓(xùn)練2】若曲線x2+y2+x-6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q滿足①關(guān)于直線kx-y+4=0對稱;②OP ⊥OQ，則直線PQ的方程為 .

　　【解析】由①知直線kx-y+4=0過圓心(-12，3)，所以k=2，故kPQ=-12.

　　設(shè)直線PQ的方程為y=-12x+t，與圓的方程聯(lián)立消去y，

　　得54x2+(4-t)x+t2-6t+3=0.(*)

　　設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由于OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，

　　即x1x2+(-12x1+t)(-12x2+t)=0，所以(x1+x2)(-12t)+54x1x2+t2=0.

　　由(*)知，x1+x2=4(t-4)5，x1x2=4(t2-6t+3)5，代入上式，解得t=32或t=54.

　　此時(shí)方程(*)的判別式Δ>0. 從而直線的方程為y=-12x+32或y=-12x+54，

　　即x+2y-3= 0或2x+4y-5=0為所求直線方程.

　　題型三 與圓有關(guān)的最值問題

　　【例3】求與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　【解析】曲線x2+y2-12x-12y+54=0可化為

　　(x-6)2+(y-6)2=18，它表示圓心為(6,6)，半徑為32的圓.

　　作出直線x+y-2=0與圓(x-6)2+(y-6)2=18，

　　由圖形可知，當(dāng)所求圓的圓心在直線y=x上時(shí)，半徑最小.

　　設(shè)其半徑 為r，點(diǎn)(6,6)到直線x+y=2的距離為52，所以2r+32=52，即r=2，

　　點(diǎn)(0,0)到直線x+y=2的距離為2，

　　所求圓的圓心為(22cos 45°，22sin 45°)，即(2,2)，

　　故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2.

　　【點(diǎn)撥】解決與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，要借助圖形的幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.

　　【變式訓(xùn)練3】由直線y=x+1上的點(diǎn)向圓C：(x-3)2+(y+2)2=1引切線，則切線長的最小值為( )

　　A.17 B.32 C.19 D.25

　　【解析】選A.設(shè)M為直線y=x+1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M的切線長為l，則l=|MC|2-r2，當(dāng)|MC|2最小時(shí)，l最小，此時(shí)MC與直線y=x+1垂直，即|MC|2min=(3+2+12)2=18，故l的最小值為17.

　　總結(jié)提高

　　1.解決直線與圓的綜合問題時(shí)，一方面，我們要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決;另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，我們要勤動手，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識使問題較為簡捷地得到解決，即注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用.

　　2.解決直線與圓的綜合問題時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式要熟練掌握，靈活運(yùn)用.

　　3.綜合運(yùn)用直線的有關(guān)知識解決諸如中心對稱、軸對稱等一些常見的問題.

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