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高考數(shù)學數(shù)列專題熱點指導
1. 已知數(shù)列{xn}，{yn}滿足x1=x2=1，y1=y2=2，并且
-=λ-，-λ-(λ為非零參數(shù)，n=2，3，4，…)
(Ⅰ)若x1，x3，x5成等比數(shù)列，求參數(shù)λ的值；
(Ⅱ)當λ>0時，證明--(n∈N*)；
當λ>1時，證明-+-+…+-<-(n∈N*)
解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3
n=4 -=λ-→x5=λ6
∵x1，x3，x5成等比
∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0
∴λ=±1
(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1
y1=y2=2>0，λ>0→yn>0
-λ-λ2-…λn-1-
∴-λn-1→--
∴--
(Ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3
進一步易推得 yn>xn
-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0
∴--，(n2)
-+-+…+-1+-+…+-<-=-
注：第(Ⅱ)問是用逐次代入法解決等量與不等量遞推。
(三)綜合題與應用題
綜合題主要是數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的綜合.數(shù)列部分的應用題是以“增長率”為基礎加以變化.
1. 已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為f‘(x)=6x-2，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；
(Ⅱ)設bn=-，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tn<-對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m。
解(Ⅰ)∵f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點
∴f(0)=c=0
又f‘(x)=2ax+b=6x-2
∴a=3，b=-2
∴f(x)=3x2-2x
Sn=f(n)=3n2-2n， a1=S1=1
Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)
an=Sn-Sn-1=6n-5，n2
a1=1也滿足上式
∴an=6n-5，(n=1，2，…)
(Ⅱ)bn=-=-[---]
Tn=-(1--)<-
m>10--
g(n)=10--，n↑，g(n)↑
-g(n)=10 ∴m=10
注：本題是函數(shù)與數(shù)列綜合，第(Ⅱ)問要有極限思想。
2. 已知An(an，bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點，a1=a，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…
(Ⅰ)證明：數(shù)列{-}(n2)是常數(shù)列；
(Ⅱ)確定a的取值集合M，使a∈M時，數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列；
(Ⅲ)證明：當a∈M時， 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調(diào)遞增。
解：(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan，
(Sn+Sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0
∴Sn+Sn-1=3n2
Sn+1+Sn=3(n+1)2
兩式相減：Sn+1-Sn-1=6n+3
∴an+1+an=6n+3
an+2+an+1=6n+9
又兩式相減an+2-an=6，n2
-=-=-=e6。得證
分析(2)由Sn+Sn-1=3n2
n=2:S2+S1=12→a2=12-2a
由an+1+an=6n+3
n=2:a3=3+2a
n=3:a4=18-2a
a2，a4，…，a2k是以a2為首項，公差為6的等差遞增數(shù)列。
a3，a5，…，a2k-1是以a3為首項，公差為6的等差遞增數(shù)列。
若{an}為遞增數(shù)列，應有a1
證明(3)kn=-，kn+1=-
分析：{an}↑，{-}↑，要證{kn}↑
注意到，{an}不是以6為公差的等差遞增數(shù)列，用比較法kn+1-kn在計算中顯然行不通。過去是“量”的轉(zhuǎn)換，現(xiàn)在把數(shù)列轉(zhuǎn)換成函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)列的單調(diào)性。
設函數(shù)f(x)=-
f‘(x)=-，需證f‘(x)>0，可推出f(x)↑
又設g(x)=ex(x-x0)-(ex--)
g‘(x)=ex(x-x0)
xx0
g‘(x)>0，g(x)↑，
∴x=x0是g(x)唯一極小值點。
∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0
∴f‘(x)>0，f(x)↑
單調(diào)區(qū)間(-∞，x0)∪(x0，+∞)
上面是把數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，下面還要把函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)列。
令x0=an，an
∴-<-
再令x0=an+2，an
->-
∴kn
注：數(shù)列也是函數(shù)，用處理函數(shù)的思路，與方法也適用于數(shù)列，關(guān)鍵是抓住“轉(zhuǎn)化”的轉(zhuǎn)折點。
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