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高考數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)教案
【方法點(diǎn)撥】
1.學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證.
2.強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧.
3.在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)針對(duì)可化為等差(比)數(shù)列的比較簡(jiǎn)單的數(shù)列進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化.
4.一些簡(jiǎn)單特殊數(shù)列的求通項(xiàng)與求和問(wèn)題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí).如錯(cuò)位相減法、迭加法、迭乘法等.
5.增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，會(huì)針對(duì)有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解.
第1課 數(shù)列的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1. 了解數(shù)列(含等差數(shù)列、等比數(shù)列)的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù);
2. 理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系;
3. 能通過(guò)一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和的問(wèn)題。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知數(shù)列 滿足 ，則 = 。
分析:由a1=0, 得 由此可知: 數(shù)列 是周期變化的,且三個(gè)一循環(huán),所以可得:
2.在數(shù)列 中，若 ， ，則該數(shù)列的通項(xiàng) 2n-1 。
3.設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ， ，且 ，則 ____2__.
4.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng) .
【范例導(dǎo)析】
例1.設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ，則
(1)70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎?如果是，是第幾項(xiàng)?
(2)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出前5項(xiàng)的圖象;
(3)這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)中有沒(méi)有最小的項(xiàng)?如果有，是第幾項(xiàng)?
分析：70是否是數(shù)列的項(xiàng)，只要通過(guò)解方程 就可以知道;而作圖時(shí)則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn);判斷有無(wú)最小項(xiàng)的問(wèn)題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決，一樣的是要注意定義域問(wèn)題。
解：(1)由 得： 或
所以70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第13項(xiàng)。
(2)這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是 ;(圖象略)
(3)由函數(shù) 的單調(diào)性： 是減區(qū)間， 是增區(qū)間，
例2.設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，點(diǎn) 均在函數(shù)y=3x-2的圖像上,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)題目的條件利用 與 的關(guān)系： ，(要特別注意討論n=1的情況)求出數(shù)列 的通項(xiàng)。
解：依題意得， 即 。
當(dāng)n2時(shí)， ;
當(dāng)n=1時(shí)， 所以 。
例3.已知數(shù)列{a ｝滿足 ,
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列 滿足 ,證明： 是等差數(shù)列;
分析：本題第1問(wèn)采用構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)問(wèn)題，第2問(wèn)依然是構(gòu)造問(wèn)題。
解：(I)
是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
即
(II)
�、�
�、�;
�、�-①，得 即 ③
【反饋演練】
1.若數(shù)列 前8項(xiàng)的值各異，且 對(duì)任意nN*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 前8項(xiàng)值的數(shù)列為 (2) 。
(1) (2) (3) (4)
2.設(shè)Sn是數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。
3.設(shè)f(n)= (nN)，那么f(n+1)-f(n)等于 。
4.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn(萬(wàn)件)近似地滿足Sn= (21n-n2-5)(n=1，2，，12).按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是 7月、8月 。
5.在數(shù)列 中， 則 505 。
6.數(shù)列 中，已知 ，
(1)寫出 ， ， ; (2) 是否是數(shù)列中的項(xiàng)?若是，是第幾項(xiàng)?
解：(1)∵ ， ，
， ;
(2)令 ，解方程得 ，
∵ ， ， 即 為該數(shù)列的第15項(xiàng)。
第2課 等差、等比數(shù)列
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1. 掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題;
2. 理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系;
3. 注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，首項(xiàng)a1= -2 ，公差d= 3 。
2.一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，則它的第1項(xiàng)是 ，第2項(xiàng)是 8 。
3.設(shè) 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ， ，則 。
4.公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。
【范例導(dǎo)析】
例1.(1)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有
13 項(xiàng)。
(2)設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 2 。
解：(1)答案：13
法1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵
n=13
法2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵
又 n=13
(2)答案：2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為12，a1+a2+a3=12，a2= =4
又a1a2a3=48， ∵a2=4，a1a3=12，a1+a3=8，
把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1
例2.(1)已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)證明
分析：(1)借助 通過(guò)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 的公差，再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，(2)求和還是要先求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。
解：(1)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，
由 即d=1。
例3.已知數(shù)列 的首項(xiàng) ( 是常數(shù)，且 )， ( )，數(shù)列 的首項(xiàng) ， ( )。
(1)證明： 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列;
(2)設(shè) 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且 是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的值。
分析：第(1)問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第(2)問(wèn)也可以求出。
解：(1)∵
(n2)
由 得 ， ，∵ ， ，
即 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。
(2)
【反饋演練】
1.已知等差數(shù)列 中， ，則前10項(xiàng)的和 = 210 。
2.在等差數(shù)列 中，已知 則 = 42 。
3.已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是 3 。
4.如果 成等比數(shù)列，則 3 ， -9 。
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130.
(1)求公差d的取值范圍;
(2)指出S1、S2、、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
解：(1)依題意有：
解之得公差d的取值范圍為-
(2)解法一：由d0可知a1a3a13,因此，在S1，S2，，S12中Sk為最大值的條件為：ak0且ak+10,即
∵a3=12, ， ∵d0, 2-
∵-
因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，，S12中，S6最大.
解法二：由d0得a1a12a13，
因此若在112中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，，S12中的最大值。又2a7=a1+a13= S130, a70, a7+a6=a1+a12= S120, a60
故在S1，S2，，S12中S6最大.
解法三：依題意得：
最小時(shí)，Sn最大;
∵-
第(2)問(wèn)難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk(112)：思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+1而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出分水嶺，從而得解;思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).
第3課 數(shù)列的求和
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法有：
(1)公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式
(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將和式中的同類項(xiàng)先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和(如：通項(xiàng)中含 因式，周期數(shù)列等等)
(3)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{a ｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
(4)錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。
(5)裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知公差不為0的正項(xiàng)等差數(shù)列{an｝中,Sn為前n項(xiàng)之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10,
則S5 = 30 。
2.已知數(shù)列{an｝是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從{an｝中依次取出第3項(xiàng),第9項(xiàng),第27項(xiàng),第3n項(xiàng),按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn｝, 則bn=__3n+1+2___
3.若數(shù)列 滿足： ，2，3.則 .
【范例導(dǎo)析】
例1.已知等比數(shù)列 分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且
例2.數(shù)列 前 項(xiàng)之和 滿足：
(1) 求證：數(shù)列 是等比數(shù)列 ;
(2) 若數(shù)列 的公比為 ,數(shù)列 滿足： ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(3) 定義數(shù)列 為 ，，求數(shù)列 的前 項(xiàng)之和 。
解：(1)由 得：
兩式相減得： 即 ,
例3.已知數(shù)列 滿足 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ; (Ⅱ)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ;
(Ⅲ)設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 .求證：對(duì)任意的 ， .
分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別取倒再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。
解：(Ⅰ) ， ，
又 ， 數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列.
， 即 .
(Ⅱ) .
.
(Ⅲ) ， .
【反饋演練】
1.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則數(shù)列 的前10項(xiàng)的和為 75 。
2.已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則 377 。
3.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。
4.已知數(shù)列 中， 且有 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為
，前 項(xiàng)和為 。
5.數(shù)列{an}滿足a1=2，對(duì)于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1-nan+12=0，
又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n-1+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
解：(1)可解得 ，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n-1.
6.數(shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1-an,(nN*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|++|an|,求Sn;
(3)設(shè)bn= (nN*),Tn=b1+b2++bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意nN*均有Tn 成立?若存在，求出m的值;若不存在，說(shuō)明理由.
解：(1)由an+2=2an+1-an an+2-an+1=an+1-an可知{an}成等差數(shù)列，?
d= =-2,an=10-2n.
(2)由an=10-2n0可得n5，當(dāng)n5時(shí)，Sn=-n2+9n，當(dāng)n5時(shí)，Sn=n2-9n+40，
故Sn=
(3)bn=
;要使Tn 總成立，需
第4課 數(shù)列的應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。
2.注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.若數(shù)列 中， ，且對(duì)任意的正整數(shù) 、 都有 ，則 .
2.設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，若 成等差數(shù)列，則 的值為 。
3.已知等差數(shù)列 的公差為2，若 成等比數(shù)列，則 。
【范例導(dǎo)析】
例1.已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 ，若 是關(guān)于 的方程 的兩根
(1)求證： 為等差數(shù)列;
(2)已知 分別求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù) 。
(1)證明：由 的兩根得：
是等差數(shù)列
(2)由(1)知
又 也符合該式，
例2.設(shè)數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列。
(I)求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式;
(II)是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說(shuō)明理由。
解：由題意得：
= ;
由已知 得公比
(2)
，所以當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)。
又 ， 所以當(dāng) 時(shí) ，
又 ， 所以不存在 ，使 。
【反饋演練】
1.制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年要使成本降低 ，則平均每年應(yīng)降低成本 。
2.等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ，則 54 。
3.設(shè) 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， 為數(shù)列{ ｝的前 項(xiàng)和，則 .
4.已知數(shù)列
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式; (2)求證數(shù)列 是等比數(shù)列;
(3)求使得 的集合.
解：(1)設(shè)數(shù)列 ，由題意得：
解得：
(2)由題意知： ，
為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列
(3)由
5.已知數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， 為其前 項(xiàng)和，對(duì)于任意 ，滿足關(guān)系 .
證明： 是等比數(shù)列;
證明：∵ ① ②
②-①，得
∵
故:數(shù)列{an}是等比數(shù)列
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