菲洛線研究
菲洛線研究
陳宣章
古代數(shù)學(xué)三大難題:用尺規(guī)作圖解決化圓為方、三等分角、立方倍體問(wèn)題。它們已經(jīng)被證明是不可能的。菲洛(Philo)線的尺規(guī)作圖是另一個(gè)平面幾何的世界難題。李明波用“李明波線段”證明了菲洛線的尺規(guī)作圖不可能。[1]
什么是菲洛線?定角∠BAC內(nèi)一定點(diǎn)Q引直線交兩邊于P、H,線段PH的最短線就是菲洛線。(注:一般用QR表示菲洛線。我用PH表示菲洛線,因?yàn)镻hilo的詞頭是PH。)早就有人證明了菲洛線的特征:過(guò)P作AB的垂線、過(guò)H作AC的垂線,過(guò)Q作PH的垂線,則三條垂線同交于一點(diǎn)D。[2]
定角∠BAC的定義為0° <∠BAC <180°(0°、180°無(wú)意義;90°為特殊情況)。因?yàn)榉坡寰�的尺規(guī)作圖不可能,我用倒畫法,先畫菲洛線PH,再確定PH上的定點(diǎn)Q:在∠BAC的兩邊上取P、H點(diǎn),連接PH。過(guò)P作AB的垂線、過(guò)H作AC的垂線,兩條垂線交于D點(diǎn)。過(guò)D作PH的垂線, 垂足為Q。則PH為過(guò)定點(diǎn)Q的菲洛線(圖1)。
對(duì)倒畫法的研究:圖2中,定角∠BAC內(nèi)作菲洛線PH并確定定點(diǎn)Q。作PH1⊥AC(H1為垂足);作PH2⊥AB(H2為垂線與AC的交點(diǎn));在AC上取AH3=AP,連接PH3。
1.當(dāng)AC上取點(diǎn)在AH1(不含H1)上時(shí),例如H4,則過(guò)H4作AC的垂線與過(guò)P作AB的垂線相交于D4,D4一定位于AB的左側(cè);過(guò)D4作H4 P延長(zhǎng)線的垂線D4Q4(Q4為垂足),Q4也位于AB的左側(cè)。Q4超出了“定點(diǎn)在∠BAC內(nèi)”的范疇。
2.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H1上時(shí),菲洛線PH1的定點(diǎn)就是P。長(zhǎng)度PH1=AP* sin∠BAC。
3.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H3上時(shí),菲洛線PH3的定點(diǎn)Q3就是PH3的中點(diǎn)。證明:過(guò)H3作AC的垂線交PH2于D3,連接AD3,則AD3是∠BAC的角平分線。在等腰△APH3中,∠BAC的角平分線一定是底PH3的高。∴D3Q3⊥PH3∴Q3是菲洛線PH3的定點(diǎn)。
4.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H1H3(不含H1、H3)上時(shí),菲洛線PH定點(diǎn)Q位于∠BAC左邊一半內(nèi)。
5.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H2H3(不含H2、H3)上時(shí),菲洛線的定點(diǎn)位于∠BAC的右邊一半內(nèi)。
6.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H2上時(shí),菲洛線PH2的'定點(diǎn)就是H2。長(zhǎng)度PH2=AP*tg∠BAC。
7.當(dāng)AC上取點(diǎn)在H2C(不含H2)上時(shí),例如H5,則過(guò)H5作AC的垂線與過(guò)P作AB的垂線相交于D5,D5一定位于AC的右側(cè);過(guò)D5作PH5延長(zhǎng)線的垂線D5Q5(Q5為垂足),Q5也位于AC的右側(cè)。Q4超出了“定點(diǎn)在∠BAC內(nèi)”的范疇。
∴定理1:對(duì)于∠BAC內(nèi)定點(diǎn)Q的菲洛線,如果其在AB上的位置確定位于P,則其在AC上的位置只能在H1H2之間;也即是∠BAC內(nèi)定點(diǎn)的菲洛線只能在直角△PH1H2中。
如果把H1H2等分成n份(在H1H2上有n-1個(gè)等分點(diǎn)),就能作出n-1條菲洛線。1.從H1到H2每條菲洛線的定點(diǎn)Q,總是向右變化。2.以PH3為水平線,當(dāng)H點(diǎn)從H1→H3變化時(shí),定點(diǎn)Q先向上再向下回到PH3的水平,其中有一個(gè)最高點(diǎn);當(dāng)H點(diǎn)從H3→H2變化時(shí),定點(diǎn)Q總是向下變化。3.如果n→∞,可以得到一條平滑的定點(diǎn)Q變化軌跡的曲線。如果以P為原點(diǎn)、PH1為X軸、PH2為Y軸構(gòu)成一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系,那條定點(diǎn)Q變化軌跡的曲線應(yīng)該有一個(gè)函數(shù)方程Y=f(X)。這個(gè)函數(shù)方程的自變量X受∠BAC大小影響。Q變化軌跡的曲線全部位于第二象限。
菲洛線問(wèn)題中,僅有三個(gè)因素:∠BAC大小、定點(diǎn)Q的長(zhǎng)度AQ及定點(diǎn)Q的位置(即∠BAQ的大小。具體說(shuō),定點(diǎn)Q有五種位置:①位于AB上;②位于AB與∠BAC角平分線之間;③位于∠BAC角平分線上;④位于∠BAC角平分線與AC之間;⑤位于AC上。因?yàn)椤螧AC為銳角、直角或鈍角時(shí)的情況有所不同,所以分別研究。
∠BAC為銳角
圖1中,PH為過(guò)定點(diǎn)Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3。于是,弧Q1Q2就是AQ為定長(zhǎng)l時(shí),所有Q點(diǎn)的可能位置(或者說(shuō):當(dāng)AQ為定長(zhǎng)l時(shí),Q點(diǎn)可以從Q1向Q2移動(dòng))。因?yàn)榛1Q2上,以AQ3為對(duì)稱軸,左邊與右邊對(duì)稱,所以我們只需要研究Q點(diǎn)從Q1向Q3移動(dòng)的情況。
1.當(dāng)Q點(diǎn)位于Q1時(shí),其菲洛線為從Q1作AC的垂線Q1H1(垂足為H1)。Q1H1=l*sin∠BAC。
2.當(dāng)Q點(diǎn)位于Q3時(shí),其菲洛線為從Q3作AQ3的垂線P3H3�！逷3Q3=l* tg∠BAC/2�！郟3H3=2l*tg(∠BAC/2)。
過(guò)P作AC的垂線PH2�！逷H>PH2> Q1H1∴PH>Q1H1。當(dāng)Q點(diǎn)位于Q1到Q3之間(即位于∠BAC左半部,不含Q1)時(shí),Q點(diǎn)的菲洛線長(zhǎng)度都一定大于Q1H1。
過(guò)H3作PQ的平行線P2H3,交AB于P2。過(guò)P作AC的平行線,交P2H3于E。則在平行四邊形PEH3H中,EH3=PH。過(guò)E作P2H2的垂線,交P3H3于F。∵P3H3>FH3>EH3;EH3=PH∴P3H3>PH。
∴定理2:Q點(diǎn)從Q1向Q3移動(dòng)中,菲洛線的長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng),最小為Q1H1,最大為P3H3。Q點(diǎn)從Q3向Q2移動(dòng)中反之,菲洛線的長(zhǎng)度則越來(lái)越短。Q1H1=l*sin∠BAC;P3H3=2l*tg(∠BAC/2)。
Q位于弧Q1Q3上(即在弧Q1Q3的左半部分),PH為最短菲洛線。如果Q為不動(dòng)點(diǎn),直線PQH作逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn),PH的長(zhǎng)度都會(huì)越來(lái)越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長(zhǎng)度為∞。
圖3中,PH為過(guò)定點(diǎn)Q的菲洛線。過(guò)Q分別作AB、AC的垂線,分別交AB、AC于E、G、F、I。連接AQ。在直角△AGI中,∠AGI為∠BAC的余角;在直角△GQE中,∠GQE為∠AGI的余角∴∠GQE=∠BAC。同理,∠FQI=∠BAC�！螰QI與∠GQE又是對(duì)頂角。
∵對(duì)于定點(diǎn)Q,菲洛線PH最短,它一定位于EF與GI之間的范圍中。過(guò)Q作直線如果超出EF與GI的范圍,與AB、AC相交點(diǎn)的距離一定會(huì)越來(lái)越長(zhǎng),直至直線與AB或AC平行,與AB或AC相交的距離長(zhǎng)度為∞。如果過(guò)Q作直線位于這兩個(gè)平行線之間的范疇,只能與AB(或AC)相交,與另一邊AC(或AB)絕不相交。
“古代數(shù)學(xué)三大難題:用尺規(guī)作圖解決化圓為方、三等分角、立方倍體問(wèn)題。它們已經(jīng)被證明是不可能的,但是,數(shù)學(xué)家們對(duì)求問(wèn)題近似解的研究卻是風(fēng)起云涌,尤其是在化圓為方的問(wèn)題上。”[3] 我認(rèn)為:PQ位于EQ與GQ之間的位置偏離,和PQ分割∠GQE有關(guān);如果PQ分割∠GQE接近“AQ分割∠BAC’,則PH是菲洛線的近似解。所以只要作∠GQP’=∠BAQ,延長(zhǎng)P’Q與AC相交于H1’,就能得到Q點(diǎn)菲洛線的近似解P’H1’。
圖3中,延長(zhǎng)AQ至Q1,過(guò)Q1作PH的平行線,交AB、AC于P1H1;延長(zhǎng)AD至D1,與P1H1的垂線相交于D1;連接P1D1與H1D1。
在△AQD與△AQ1D1中,∵QD∥Q1D1∴AD/ AD1=QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;在△AQH與△AQ1H1中,∵QH∥Q1H1∴QH/ Q1H1=AH/ A1H1=AQ/ AQ1;在直角△HQD與直角△H1Q1D1中,∵QD/ Q1D1=AQ/ AQ1;QH/ Q1H1=AQ/ AQ1∴直角△HQD∽直角△H1Q1D1∴HD/ H1D1=AQ/ AQ1。在△AHD與△AH1D1中,∵AD/ AD1=AQ/ AQ1;DH/ D1H1=AQ/ AQ1;AH/ A1H1=AQ/ AQ1∴△AHD∽△AH1D1∴∠A1H1D1=∠AHD=90°。同理可證明∠A1P1D1=90°�！郟1H1是定點(diǎn)Q1的菲洛線。
∴定理3:射線AQ上所有點(diǎn)的菲洛線相互平行。也即:只要∠BAQ確定,射線AQ上的所有點(diǎn)的菲洛線都相互平行。
∠BAC為直角
圖4中,PH為過(guò)直角∠BAC內(nèi)定點(diǎn)Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3�；1Q2是AQ為定長(zhǎng)l時(shí),所有Q點(diǎn)的可能位置。
1.當(dāng)Q位于Q1時(shí),菲洛線為過(guò)Q1作AC的垂線,與Q1A重疊。∴Q1A長(zhǎng)度為l。
2.當(dāng)Q位于Q3時(shí),菲洛線為過(guò)Q3作A Q3的垂線P3H3。P3H3長(zhǎng)度為2l。
同定理2可證明:Q點(diǎn)從Q1向Q3移動(dòng)中,菲洛線的長(zhǎng)度越來(lái)越長(zhǎng),最小為Q1H1,最大為P3H3。Q點(diǎn)從Q3向Q2移動(dòng)中反之,菲洛線的長(zhǎng)度則越來(lái)越短。Q1H1=l;P3H3=2l。
Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分)時(shí),PH為最短菲洛線。如果Q為不動(dòng)點(diǎn),直線PQH作逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn),PH的長(zhǎng)度都會(huì)越來(lái)越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長(zhǎng)度為∞。
∠BAC為鈍角
圖5中,PH為過(guò)鈍角∠BAC內(nèi)定點(diǎn)Q的菲洛線。以A為圓心,AQ為半徑作弧交∠BAC兩邊于Q1、Q2。作∠BAC的角平分線交弧Q1Q2于Q3。弧Q1Q2是AQ為定長(zhǎng)l時(shí),所有Q點(diǎn)的可能位置。
1.當(dāng)Q位于Q1時(shí),過(guò)Q1不可能直接作AC的垂線,只能作AC延長(zhǎng)線的垂線。菲洛線仍然為Q1A。Q1A長(zhǎng)度為l。
2.當(dāng)Q位于Q3時(shí),菲洛線為過(guò)Q3作A Q3的垂線P3H3。P3H3長(zhǎng)度為2l*tg(∠BAC/2)。
Q位于弧Q1 Q3上(即在弧Q1 Q3的左半部分),PH為最短菲洛線。如果Q為不動(dòng)點(diǎn),直線PQH作逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn),PH的長(zhǎng)度都會(huì)越來(lái)越大,直至直線PQH平行于AB或AC,其長(zhǎng)度為∞。
參考資料:
[1]郝錫鵬。李明波解開(kāi)菲洛線尺規(guī)作圖之謎。北京:津乾論壇。
[2]傅鐘鵬。極值巧解。沈陽(yáng):遼寧人民出版社,1980:22-24。
[3]陳仁政。說(shuō)不盡的π。北京:科學(xué)出版社,2005:195-202,207。
2016.10.28.
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