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初三上學(xué)期數(shù)學(xué)知識點總結(jié)
第一章 特殊平行四邊形
1.1菱形的性質(zhì)與判定
菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。
※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
四條邊都相等的四邊形是菱形。
1.2 矩形的性質(zhì)與判定
※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。
對角線相等的平行四邊形是矩形。
四個角都相等的四邊形是矩形。
※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
1.3 正方形的性質(zhì)與判定
正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；
鄰邊相等的矩形是正方形；
對角線相等的菱形是正方形；
對角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：
※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。
同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
※夾在兩條平行線間的平行線段相等。
※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半
第二章 一元二次方程
2.1 認(rèn)識一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2.5 一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系
2.6 應(yīng)用一元二次方程
※只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 （a、b、c為
常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
※把 （a、b、c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數(shù)；b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即將其變?yōu)?gt;
②公式法 （注意在找abc時須先把方程化為一般形式）
�、鄯纸庖蚴椒� 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②將二次項系數(shù)化成1；
�、郯殉�(shù)項移到方程的右邊；
�、軆蛇吋由弦淮雾椣禂�(shù)的一半的平方；
⑤把方程轉(zhuǎn)化成 的形式；
�、迌蛇呴_方求其根。
※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；
當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
當(dāng)b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根。
※如果一元二次方程 的兩根分別為x1、x2，則有： 。
※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
�。�2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
① ② ③
�、� ⑤
⑥ ⑦其他能用 或 表達(dá)的代數(shù)式。
�。�3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：
�。�4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根
※在利用方程來解應(yīng)用題時，主要分為兩個步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)情況只要設(shè)問題為x；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。
※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：
第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識
3.1 用樹狀圖或表格求概率
3.2 用頻率估計概率
※在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)；
每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：
在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，，各個小長方形的面積的和等于1。
※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。
用一件事件發(fā)生的頻率來估計這一件事件發(fā)生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。
※假設(shè)布袋內(nèi)有m個黑球，通過多次試驗，我們可以估計出布袋內(nèi)隨機摸出一球，它為白球的概率；
※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號，再放回池塘，之后再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚，則可依照 估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是XX”）
※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會發(fā)生。
概率的求法：
�。�1）一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=
（2）、列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（3）樹狀圖法
通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
�。ó�(dāng)一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。）
第四章 圖形的相似
4.1 成正比線段
4.2 平行線段成比例
4.3 形似多邊形
4.4 探索三角形相似的條件
4.5 相似三角形判定定理的證明
4.6 利用相似三角形測高
4.7 相似三角形的性質(zhì)
4.8 圖形的位似
一. 線段的比
※1. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或?qū)懗?.
※2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3. 注意點:
①a:b=k,說明a是b的k倍;
�、谟捎诰�段 a、b的長度都是正數(shù),所以k是正數(shù);
�、郾扰c所選線段的長度單位無關(guān),求出時兩條線段的長度單位要一致;
�、艹薬=b之外,a:b≠b:a, 與 互為倒數(shù);
⑤比例的基本性質(zhì):若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則
二. 黃金分割
※1. 如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
※2.黃金分割點是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點.
四. 相似多邊形
¤1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
※2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
五. 相似三角形
※1. 在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.
※2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上.
※4. 相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周長的比等于相似比.
※6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的條件
※1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
�、賰山菍�(yīng)相等;
②兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等;
�、廴厡�(yīng)成比例. ①一個銳角對應(yīng)相等;
②兩條邊對應(yīng)成比例:
a. 兩直角邊對應(yīng)成比例;
b. 斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.
※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.
如圖2, l1 // l2 // l3,則 .
※3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
八. 相似的多邊形的性質(zhì)
※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.
九. 圖形的放大與縮小
※1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形; 這個點叫做位似中心;這時的相似比又稱為位似比.
※2. 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.
◎3. 位似變換:
�、僮儞Q后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點,并且對應(yīng)點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.
�、谝粋�圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.
第五章 投影與視圖
5.1 投影
5.2 視圖
※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。
三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。
主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象
俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象
左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象
※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。
※在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）。
※在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。
物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。
太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。
探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。
眼睛的位置稱為視點；由視點發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。
※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時的投影。
�、冱c在一個平面上的投影仍是一個點；
�、诰�段在一個面上的投影可分為三種情況：
線段垂直于投影面時，投影為一點；
線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；
線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。
�、燮矫鎴D形在某一平面上的投影可分為三種情況：
平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；
平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；
平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。
第六章 反比例函數(shù)
6.1 反比例函數(shù)
6.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
6.3 反比例函數(shù)的應(yīng)用
※反比例函數(shù)的概念：一般地， （k為常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）
※反比例函數(shù)的等價形式：y是x的反比例函數(shù) ←→ ←→ ←→ ←→ 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.
※判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩個變量的乘積是否為定值<即>。（通常第二種方法更適用）
※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線
※反比例函數(shù)的畫法的注意事項：①反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；
�、谶x取的點越多畫的圖越準(zhǔn)確；
�、郛媹D注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。
※反比例函數(shù)性質(zhì)：
①當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減��；
�、诋�(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；
�、垭p曲線的兩支會無限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸），但不會與坐標(biāo)軸相交。
※反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖4所示)
點P(x,y)在雙曲線上都有
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