基本不等式知識(shí)點(diǎn)高考數(shù)學(xué)
基本不等式知識(shí)點(diǎn)高考數(shù)學(xué)1
基本不等式是不等式的重要內(nèi)容,也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)之一。它的應(yīng)用幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有的章節(jié),高考命題的重點(diǎn)是大小判斷、求最值、求范圍等.大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了不少考查基本不等式的'實(shí)際應(yīng)用問題。
【例2】 心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識(shí)存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t0)天時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，則此時(shí)這似乎存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍(復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì))，其后存留量y?2隨時(shí)間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a
(1) 若a=-1,t=5，求二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)
(2) 若出現(xiàn)了二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)，求a的取值范圍。
分析 關(guān)鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義，建立函數(shù)關(guān)系，再用基本不等式求最值。
解 設(shè)第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量之差為y，
由題意知，y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t?4),
所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t4)。
當(dāng)a=-1,t=5時(shí)，
y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
=-(x+4)81-4x+4+?1?-2481+1=59，
當(dāng)且僅當(dāng)x=14 時(shí)取等號(hào)，所以二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)為第14天.
(2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?-2-4a(t+4)?2+?8-at+4，當(dāng)且僅當(dāng)-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 時(shí)取等號(hào)，
由題意2-a(t+4)-4t，所以-4
點(diǎn)評(píng) 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的，關(guān)鍵是要注意運(yùn)用基本不等式的條件：一正、二定、三相等。
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1.不等式的定義：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a
�、� 其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來定義兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。
�、诳梢越Y(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個(gè)熟悉的知識(shí)背景，來認(rèn)識(shí)作差法比大小的理論基礎(chǔ)是不等式的性質(zhì)。
作差后，為判斷差的符號(hào)，需要分解因式，以便使用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則。
2.不等式的性質(zhì)：
�、� 不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。
不等式基本性質(zhì)有：
(1) abb
(2) acac (傳遞性)
(3) ab+c (cR)
(4) c0時(shí)，abc
c0時(shí)，abac
3.運(yùn)算性質(zhì)有：
(1) ada+cb+d。
(2) a0, c0acbd。
(3) a0anbn (nN, n1)。
(4) a0N, n1)。
應(yīng)注意，上述性質(zhì)中，條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種：和即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。一般地，證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的`等價(jià)變換。因此，要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。
4. 關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察，主要有以下三類問題：
(1)根據(jù)給定的不等式條件，利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)，判斷實(shí)數(shù)值的大小。
(3)利用不等式的性質(zhì)，判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。
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