高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)等差與等比數(shù)列提分專練及答案

　　一、選擇題

　　1.已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d(d1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10，則a1和d的值分別為()

　　A.1 B.-2

　　C.2 D.-1

　　答案：D 解題思路：由得由兩式得a1=，代入式中，+3d=d3，化簡(jiǎn)得d9-3d3+2=0，

　　即(d3-1)(d6+d3-2)=0，

　　d1，由d6+d3-2=0，得d=-，a1=-d=.

　　2.已知數(shù)列{an}滿足an+2-an+1=an+1-an，nN*，且a5=.若函數(shù)f(x)=sin 2x+2cos2，記yn=f(an)，則數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)和為()

　　A.0 B.-9

　　C.9 D.1

　　答案：C 命題立意：本題考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查綜合分析能力，難度中等.

　　解題思路：據(jù)已知得2an+1=an+an+2，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又f(x)=sin 2x+2=sin 2x+1+cos x，因?yàn)閍1+a9=a2+a8==2a5=，故cos a1+cos a9=cos a2+cos a8==cos a5=0，又2a1+2a9=2a2+2a8==4a5=2，故sin 2a1+sin 2a9=sin 2a2+sin 2a8==sin 2a5=0，故數(shù)列{yn}的前9項(xiàng)之和為9，故選C.

　　3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n2)，a1=1，a2=3，記Sn=a1+a2++an，則下列結(jié)論正確的是()

　　A.a100=-1，S100=5 B.a100=-3，S100=5

　　C.a100=-3，S100=2 D.a100=-1，S100=2

　　答案：A 命題立意：本題考查數(shù)列的性質(zhì)與求和，難度中等.

　　解題思路：依題意，得an+2=an+1-an=-an-1，即an+3=-an，an+6=-an+3=an，數(shù)列{an}的項(xiàng)是以6為周期重復(fù)性地出現(xiàn)，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0;注意到100=616+4，因此S100=160+a1+a2+a3+a4=(a1+a4)+a2+a3=a2+(a2-a1)=2a2-a1=5，a100=a4=-a1=-1，故選A.

　　4.已知等差數(shù)列{an}的公差d0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，則(nN*)的最小值為()

　　A.4 B.3

　　C.2-2 D.

　　答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式以及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)題意由a1，a3，a13成等比數(shù)列可得(1+2d)2=1+12d，解得d=2，故an=2n-1，Sn=n2，因此====(n+1)+-2，根據(jù)均值不等式，知=(n+1)+-22-2=4，當(dāng)n=2時(shí)取得最小值4，故選A.

　　5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若-am

　　A.Sm0，且Sm+10 B.Sm0，且Sm+10

　　C.Sm0，且Sm+10 D.Sm0，且Sm+10

　　答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)已知可得a1+am0，a1+am+10，又Sm=0，Sm+1=0，故選A.

　　6.在數(shù)列{an}中，an+1=can(c為非零常數(shù))，前n項(xiàng)和為Sn=3n+k，則實(shí)數(shù)k為()

　　A.-1 B.0

　　C.1 D.2

　　答案：A 命題立意：本題考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)間的關(guān)系，難度中等.

　　解題思路：依題意得，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1=3+k，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=18,62=18(3+k)，解得k=-1，故選A.

　　二、填空題

　　7.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(nN*).若b2=-2，b7=8，則a8=________.

　　答案：16 解題思路： {bn}為等差數(shù)列，且b2=-2，b7=8，設(shè)其公差為d，

　　b7-b2=5d，即8+2=5d. d=2.

　　bn=-2+(n-2)2=2n-6.

　　an+1-an=2n-6.

　　由a2-a1=21-6，a3-a2=22-6，，an-an-1=2(n-1)-6，累加得：an-a1=2(1+2++n-1)-6(n-1)=n2-7n+6，

　　an=n2-7n+8. a8=16.

　　8.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，構(gòu)成等比數(shù)列，且k1=1，k2=2，k3=6，則k4=________.

　　答案：22 命題立意：本題考查等差與等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，難度中等.

　　解題思路：據(jù)題意知等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1+d)2=a1(a1+5d)，

　　解得d=3a1，故a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1)，解得k4=22.

　　9.已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為_(kāi)_______.

　　答案： 命題立意：本題主要考查累加法，難度中等.

　　解題思路：因?yàn)閍1=33，an+1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1，那么可知==n+-1，借助于函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)n=6時(shí)，取得最小值為.

　　10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=(n2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________.

　　答案： 命題立意：本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式等知識(shí)，意在考查考生的觀察能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力.

　　解題思路：依題意，得-=(n2)，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，于是有=1+(n-1)，an=.

　　三、解答題

　　11.已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S，S，，S，是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無(wú)窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.

　　(1)求an，bn;

　　(2)從數(shù)列中能否挑出唯一的無(wú)窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于?若能的話，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比;若不能的話，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解析：(1){S}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

　　所以S=3+(n-1)=n+2.

　　因?yàn)閍n0，所以Sn=(nN*).

　　當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，

　　又a1=S1=，

　　所以an=(nN*).

　　設(shè){bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，則有

　　所以即bn=3n(nN*).

　　(2)=n，設(shè)可以挑出一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列{cn}，

　　首項(xiàng)為c1=p，公比為k(p，kN*)，它的各項(xiàng)和等于=，則有=，

　　所以p=.

　　當(dāng)pk時(shí)，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8，

　　因?yàn)閜，kN*，所以只有當(dāng)p-k=0，k=2，即p=k=2時(shí)，數(shù)列{cn}的各項(xiàng)和為.

　　當(dāng)pp，右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比數(shù)列{cn}，首項(xiàng)為，公比為，使它的各項(xiàng)和等于.

　　12.已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，對(duì)任意的nN*，有an+1=a1+a2++an-1+an+.

　　(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

　　(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn=(log3 a1+log3 a2++log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

　　解析：(1)解法一：設(shè){an}的公比為q，

　　則由題設(shè)，得

　　即

　　由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q，

　　即2a1q2-7a1q+3a1=0.

　　a10， 2q2-7q+3=0，

　　解得q=(舍去)或q=3.

　　將q=3代入，得a1=1，

　　an=3n-1.

　　解法二：設(shè){an}的公比為q，則由已知，得

　　a1qn=+a1qn-1+，

　　即a1qn=qn-+，

　　比較系數(shù)得

　　解得(舍去)或 an=3n-1.

　　(2)由(1)，得

　　bn=(log3 30+log3 31++log3 3n-1+log3 t)

　　=[1+2++(n-1)+log3 t]

　　=

　　=+log3 t.

　　{bn}為等差數(shù)列，

　　bn+1-bn等于一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，

　　而bn+1-bn=-+log3 t

　　=-log3 t，

　　log3 t=0， t=1，此時(shí)bn=.

　　13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-n-1+2(nN*)，數(shù)列{bn}滿足bn=2nan.

　　(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

　　(2)設(shè)cn=log2，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿足Tn(nN*)的n的最大值.

　　解析：(1)證明：在Sn=-an-n-1+2中，

　　令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=.

　　當(dāng)n2時(shí)，Sn-1=-an-1-n-2+2，

　　an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1，

　　即2an=an-1+n-1.

　　2nan=2n-1an-1+1.

　　bn=2nan， bn=bn-1+1.

　　又b1=2a1=1， {bn}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

　　于是bn=1+(n-1)1=n， an=.

　　(2) cn=log2=log22n=n，

　　==-.

　　Tn=+++=1+--.

　　由Tn，得1+--，即+，f(n)=+單調(diào)遞減，

　　f(3)=，f(4)=，f(5)=，

　　n的最大值為4.

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