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常微分方程(方道元著)課后答案下載
凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程,就叫做微分方程。下面是陽(yáng)光網(wǎng)小編整理的常微分方程(方道元著),以供大家閱讀。
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常微分方程:概念
學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的人對(duì)于方程是比較熟悉的;在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程,比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來,列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式,然后取求方程的解。
但是在實(shí)際工作中,常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問題。比如:物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化,要尋求它的運(yùn)動(dòng)、變化的規(guī)律;某個(gè)物體在重力作用下自由下落,要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律;火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行,要尋求它飛行的軌道,等等,要以現(xiàn)有數(shù)據(jù)求得出形式上的函數(shù)解析式,而不是以已知函數(shù)來計(jì)算特定的未知數(shù)。
物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來描述的,因此,這類問題就是要去尋求滿足某些條件的一個(gè)或者幾個(gè)未知函數(shù)。也就是說,凡是這類問題都不是簡(jiǎn)單地去求一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數(shù)值,而是要求一個(gè)或者幾個(gè)未知的函數(shù)。
解這類問題的.基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似,也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來,從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式。但是無論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面,都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不同的地方。
在數(shù)學(xué)上,解這類方程,要用到微分和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)。因此,凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程,就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的,蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候,就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí),對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。
常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué),以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展,如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等,都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響,當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。
牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械動(dòng)力學(xué)的時(shí)候,利用了微分方程這個(gè)工具,從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來,法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。
微分方程的理論逐步完善的時(shí)候,利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律,只要列出相應(yīng)的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。
常微分方程:定義
定義1:凡含有參數(shù),未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分) 的方程,稱為微分方程,有時(shí)簡(jiǎn)稱為方程,未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱作常微分方程,未知數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱作偏微分方程。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),稱為微分方程的階。定義式如下:
定義2:任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù),都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)的.個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同,且任意常數(shù)之間不能合并,則稱此解為該方程的通解(或一般解).當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定值時(shí)所得到的解,稱為方程的特解。
一般地說,n 階微分方程的解含有 n個(gè)任意常數(shù)。也就是說,微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的階數(shù)相同,這種解叫做微分方程的通解。通解構(gòu)成一個(gè)函數(shù)族。
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