微積分學(xué)(吳迪光張彬著)課后答案
微積分學(xué)內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。以下是由陽(yáng)光網(wǎng)小編整理關(guān)于微積分學(xué)(吳迪光張彬著)課后答案，希望大家喜歡!
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微積分學(xué)歷史背景
數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。——恩格斯
從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代，宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過(guò)阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國(guó)覆滅后希臘大量文獻(xiàn)的流入歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全嶄新的面貌。而十六世紀(jì)的歐洲，正處在資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的，因而也推動(dòng)的數(shù)學(xué)的發(fā)展�？茖W(xué)對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成多個(gè)核心問(wèn)題：
(1)運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題
即，已知物體移動(dòng)的距離S表為時(shí)間的函數(shù)的公式S=S(t),求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度;反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離。這類問(wèn)題是研究運(yùn)動(dòng)時(shí)直接出現(xiàn)的，困難在于，所研究的速度和加速度是每時(shí)每刻都在變化的。比如，計(jì)算物體在某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離，因?yàn)樵诮o定的瞬間，物體移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間是0，而0/0是無(wú)意義的。但是，根據(jù)物理，每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度，這也是無(wú)疑的。已知速度公式求移動(dòng)距離的問(wèn)題，也遇到同樣的困難。因?yàn)樗俣让繒r(shí)每刻都在變化，所以不能用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間乘任意時(shí)刻的速度，來(lái)得到物體移動(dòng)的距離。
(2)求曲線的切線問(wèn)題
這個(gè)問(wèn)題本身是純幾何的，而且對(duì)于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學(xué)是十七世紀(jì)的一門(mén)較重要的科學(xué)研究，透鏡的設(shè)計(jì)者要研究光線通過(guò)透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線;另一個(gè)涉及到曲線的切線的科學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)的研究中，求運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)方向，即軌跡的切線方向。
(3)求長(zhǎng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等
這些問(wèn)題包括，求曲線的長(zhǎng)度(如行星在已知時(shí)期移動(dòng)的距離)，曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個(gè)相當(dāng)大的物體(如行星)作用于另一物體上的引力。實(shí)際上，關(guān)于計(jì)算橢圓的長(zhǎng)度的問(wèn)題，就難住數(shù)學(xué)家們，以致有一段時(shí)期數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的'進(jìn)一步工作失敗了，直到下一世紀(jì)才得到新的結(jié)果。又如求面積問(wèn)題，早在古希臘時(shí)期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就采用了窮竭法。當(dāng)n越來(lái)越小時(shí)，右端的結(jié)果就越來(lái)越接近所求的面積的精確值。但是，應(yīng)用窮竭法，必須添上許多技藝，并且缺乏一般性，常常得不到數(shù)字解。當(dāng)阿基米德的工作在歐洲聞名時(shí)，求長(zhǎng)度、面積、體積和重心的興趣復(fù)活了。窮竭法先是逐漸地被修改，后來(lái)由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。
(4)求最大值和最小值問(wèn)題
炮彈在炮筒里射出，它運(yùn)行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對(duì)地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個(gè)“實(shí)際”的問(wèn)題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀(jì)初期，Galileo斷定(在真空中)最大射程在發(fā)射角是45時(shí)達(dá)到;他還得出炮彈從各個(gè)不同角度發(fā)射后所達(dá)到的不同的最大高度。研究行星的運(yùn)動(dòng)也涉及到最大值和最小值的問(wèn)題，如求行星離開(kāi)太陽(yáng)的距離。[1]
微積分學(xué)創(chuàng)立過(guò)程
早期思想
早在公元前7世紀(jì)，古希臘科學(xué)家、哲學(xué)家泰勒斯就對(duì)球的面積、體積、與長(zhǎng)度等問(wèn)題的研究就含有微積分思想。古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圓的測(cè)量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學(xué)的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積的問(wèn)題中就隱含著近代積分的思想。中國(guó)古代數(shù)學(xué)家也產(chǎn)生過(guò)積分學(xué)的萌芽思想，例如三國(guó)時(shí)期的劉徽，他對(duì)積分學(xué)的思想主要有兩點(diǎn)：割圓術(shù)及求體積問(wèn)題的設(shè)想。
在3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，并指出：“割之彌細(xì)，所失彌少 ，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。劉徽對(duì)面積的深刻認(rèn)識(shí)和他的割圓術(shù)方法，正是極限思想的具體體現(xiàn) 。數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎(chǔ)， 一個(gè)數(shù)列an如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an與某一實(shí)數(shù)無(wú)限接近，就稱之為收斂數(shù)列，a為數(shù)列的極限，記作liman=a例如an=1/n，數(shù)列的極限為0。
微分學(xué)
微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問(wèn)題和切線問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋(píng)果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)這一事實(shí)。若用s=s(t)表示物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即物體運(yùn)動(dòng)中所走路程s與時(shí)間t的關(guān)系，那么物體在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度為v(t0)，并記v(t0)=s′(t0)，并稱之為路程s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)或變化率 ，也可記v(t0)=()|t=t0。而物體運(yùn)動(dòng)的加速度a(t)=v′(t)=s″(t)=()。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中，都起著基礎(chǔ)而重要的作用。例如在求極大、極小值問(wèn)題中的應(yīng)用。
積分學(xué)
積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來(lái)的。如果對(duì)每一x∈I ，有f(x)=F′(x)，則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來(lái)源于計(jì)算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問(wèn)題。解決這些問(wèn)題的基本思想是用有限代替無(wú)限;基本方法是在對(duì)定義域[a，b]進(jìn)行劃分后，構(gòu)造一個(gè)特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說(shuō)，設(shè)f(x)為定義在[a，b]上的函數(shù)，任意分劃區(qū)間[a，b]:a=x0<x1<…<xn=b，記，||Δ||=max{Δxi}，任取 xi ∈Δxi，如果有一實(shí)數(shù)I，有下式成立 ： ，則稱I為f(x)在[a，b]上的定積分，記為I=f(x)dx。當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分的幾何意義是表示由x=a，x=b，y=0和y=f(x)所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外，在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問(wèn)題和“微元求和”。
聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則f(x)dx=F(b)-F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計(jì)算定積分實(shí)際上就是求原函數(shù)，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù)，計(jì)算不定積分的問(wèn)題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計(jì)算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。
客觀價(jià)值
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。
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