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      復(fù)變函數(shù)論之概念來源剖析

      時(shí)間:2018-04-25 16:43:07 復(fù)變函數(shù) 我要投稿

      復(fù)變函數(shù)論之概念來源剖析

        復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根,在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開平方的情況。在很長(zhǎng)時(shí)間里,人們對(duì)這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。復(fù)數(shù)的一般形式是:a+bi,其中i是虛數(shù)單位。

        以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù),而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù),復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù),因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。

        復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

        復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年,歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。而比他更早時(shí),法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中,就已經(jīng)得到了它們。因此,后來人們提到這兩個(gè)方程,把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀(jì),上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí),作了更詳細(xì)的研究,所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

        復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì),就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣,復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支,并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受,也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。

        為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾,法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分,他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。

        后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀(jì)初,復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展,維爾斯特拉斯的學(xué)生,瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ,開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域,為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。

        復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面,涉及的面很廣,有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的'穩(wěn)定平面場(chǎng),所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域,對(duì)它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。

        比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候,就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題,他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。

        復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用,而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科,對(duì)它們的發(fā)展很有影響。

        復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容

        復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。

        如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時(shí)候,函數(shù)就有一個(gè)唯一確定的值,那么這個(gè)函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù),多項(xiàng)式就是這樣的函數(shù)。

        復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù),黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面,可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù),如果能作出它的黎曼曲面,那么,函數(shù)在離曼曲面上就變成單值函數(shù)。

        黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁,能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。近來,關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響,逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。

        復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容,一般叫做幾何函數(shù)論,復(fù)變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、靜電場(chǎng)理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。

        留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù),它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算比起線積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分,可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后,再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計(jì)算,當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候,計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。

        把單值解析函數(shù)的一些條件適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充,以滿足實(shí)際研究工作的需要,這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì),只要稍加改變后,同樣適用于廣義解析函數(shù)。

        廣義解析函數(shù)的應(yīng)用范圍很廣泛,不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面,而且象薄殼理論這樣的固體力學(xué)部門也在應(yīng)用。因此,近年來這方面的理論發(fā)展十分迅速。

        從柯西算起,復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過一些學(xué)科的發(fā)展,并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問題中,它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。現(xiàn)在,復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題,所以它將繼續(xù)向前發(fā)展,并將取得更多應(yīng)用。

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