《數(shù)學(xué)物理方程》第二版課后答案免費(fèi)下載
《數(shù)學(xué)物理方程(第二版)》是2010年高等教育出版社出版的一本圖書，作者是 谷超豪 李大潛 陳恕行 鄭宋穆 譚永基。以下是由陽光網(wǎng)小編整理關(guān)于《數(shù)學(xué)物理方程》第二版課后答案免費(fèi)下載地址，希望大家喜歡!
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第一章. 波動(dòng)方程
§1 方程的導(dǎo)出。定解條件
1.細(xì)桿(或彈簧)受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動(dòng)，以u(píng)(x,t)表示靜止時(shí)在x 點(diǎn)處的點(diǎn)在時(shí)
刻t離開原來位置的偏移，假設(shè)振動(dòng)過程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明u(x,t )滿足方程
其中ρ 為桿的密度，E 為楊氏模量。
《數(shù)學(xué)物理方程》第二版(谷超豪 李大潛著)課后答案
證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時(shí)的坐標(biāo)分別為x 與x + Δx �，F(xiàn)在計(jì)算這段桿在時(shí)
刻t 的相對(duì)伸長。在時(shí)刻t 這段桿兩端的`坐標(biāo)分別為：
令Δx →0，取極限得在點(diǎn)x 的相對(duì)伸長為。由虎克定律，張力等于x u (x,t ) T (x,t )
T (x,t ) = E(x)ux (x,t )
其中E(x)是在點(diǎn)x 的楊氏模量。
設(shè)桿的橫截面面積為S (x),則作用在桿段(x,x + Δx)兩端的力分別為
x E(x)S (x)u x (x,t );E(x + Δx)S (x + Δx)u (x + Δx,t ).
于是得運(yùn)動(dòng)方程ρ(x)s(x) ⋅ Δx ⋅utt x (x,t ) = ESu (x + Δx) |x +Δx −ESux (x) |x
利用微分中值定理，消去Δx ，再令Δx →0得
即得所證。
2.在桿縱向振動(dòng)時(shí)，假設(shè)(1)端點(diǎn)固定，(2)端點(diǎn)自由， (3)端點(diǎn)固定在彈性支承上，試分別
導(dǎo)出這三種情況下所對(duì)應(yīng)的邊界條件。
解：(1)桿的兩端被固定在x = 0,x = l 兩點(diǎn)則相應(yīng)的邊界條件為
u(0,t ) = 0,u(l ,t ) = 0.
(2)若x = l 為自由端，則桿在x = l 的張力| 等于零，因此相應(yīng)的邊
界條件為| =0
同理，若x = 0為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為∣
(3)若x = l 端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某點(diǎn)，且該點(diǎn)離開原來位置的偏移
由函數(shù)v(t )給出，則在x = l 端支承的伸長為u(l ,t ) −v(t )。由虎克定律有
其中k 為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件
( u)∣ 其中
特別地，若支承固定于一定點(diǎn)上，則v(t ) = 0,得邊界條件
同理，若x = 0端固定在彈性支承上，則得邊界條件
3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動(dòng)方程為
其中h 為圓錐的高(如圖1)
證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半徑為1，則x
點(diǎn)處截面的半徑l 為：
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