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      高考數(shù)學(xué)函數(shù)與方程實(shí)際應(yīng)用教學(xué)

      時(shí)間:2022-12-09 09:26:54 高考數(shù)學(xué) 我要投稿
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      高考數(shù)學(xué)函數(shù)與方程實(shí)際應(yīng)用教學(xué)

        專(zhuān)題一:集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

        第三講 函數(shù)與方程及函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

        【最新考綱透析】

        1.函數(shù)與方程

       。1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。

        (2)根據(jù) 具體函數(shù)的圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解。

        2.函數(shù)模型及其應(yīng)用

       。1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,知道直線(xiàn)上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義。

       。2)了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用。

        【核心要點(diǎn)突破】

        要點(diǎn)考向一:函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

        考情聚焦:1.函數(shù)的零點(diǎn)是新課標(biāo)的新增內(nèi)容,其實(shí)質(zhì)是相應(yīng)方程的根,而方程是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容, 因而函數(shù)的零點(diǎn)亦成為新課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn).

        2.常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)等知識(shí)交匯命題,多以選擇、填空題的形式考查。

        考向鏈接:1.函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)的確定問(wèn)題,常見(jiàn)的類(lèi)型有(1)零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間的確定;(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定;(3)兩函數(shù)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定;解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有:解方 程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法,尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解。

        2.函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)的應(yīng)用問(wèn)題,即已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題,解決該類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想,構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解。

        例1:(2010?福建高考文科?T7)函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

        A.2 B.3 C.4 D.5

        【命題立意】本題從分段函數(shù)的角度出發(fā),考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握程度。

        【思路點(diǎn)撥】作出分段函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合解題。

        【規(guī)范解答】選C, ,繪制出圖像大致如右圖,所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

        【方法技巧】本題也可以采用分類(lèi)討論的方法進(jìn)行求解。

        令 ,則

        (1)當(dāng) 時(shí), , 或 (舍去);

       。2)當(dāng) 時(shí), ,

        綜上述:函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)。

        要點(diǎn)考向二:用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值

        考情聚焦:1.該考向雖然在近幾年新課標(biāo)高考中從未涉及,但由于二分法是求方程根的近似值的重要方法,其又是新課標(biāo)新增內(nèi)容,預(yù)計(jì)在今后的新課標(biāo)高考中可能會(huì)成為新的亮點(diǎn).

        2.該類(lèi)問(wèn)題常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)交匯命題,考查學(xué)生的探究和計(jì)算能力。

        考向鏈接:用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟

       。1)確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)?f(b)<0,給定精確度 ;(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn) ;(3)計(jì)算f( );

       、佼(dāng)f( )=0,則 就是函數(shù)的零點(diǎn);

        ②若f(a)?f( )<0,則令b= (此時(shí)零點(diǎn) ),

        ③若f( )?f(b)<0,則令a= (此時(shí)零點(diǎn) )。

        (4)判斷是否達(dá)到其精確度 ,則得零點(diǎn)近似值,否則重復(fù)以上步驟。

        例2:已知函數(shù)

        (1)求證函數(shù) 在區(qū)間[0,1]上存在惟一的極值點(diǎn)。

       。2)用二分尖求函數(shù)取得極值時(shí)相應(yīng) 的近似值。(誤差不超過(guò)0.2;參數(shù)數(shù)據(jù) )

        【思路解析】求導(dǎo)數(shù)→ → 在[0,1]上單調(diào)→得出結(jié)論→取初始區(qū)間→用二分法逐次計(jì)算→得到符合誤差的近似值.

        【解答】

       。2)取區(qū)間 [0,1]作為起始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算如下:

        區(qū)間中點(diǎn)坐標(biāo)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)值取值區(qū)間

        [0,1]1

        [0,0.5]0.5

        [0.25,0.5]0.25

        由上表可知區(qū)間[0.25,0.5]的長(zhǎng)度為0.25,所以該區(qū)間的中點(diǎn) ,到區(qū)間端點(diǎn)距離小于0.2,因此可作為誤差不超過(guò)0.2的一個(gè)極值點(diǎn)的相應(yīng) 的值.

        函數(shù) 取得極值時(shí),相應(yīng)

        要點(diǎn)考向二:函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

        考情聚焦:1.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用歷年來(lái)一直是高考的熱點(diǎn),考查現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問(wèn)題,如生產(chǎn)經(jīng)營(yíng),環(huán)境保護(hù),工程建設(shè)等相關(guān)的增長(zhǎng)率、最優(yōu)化問(wèn)題。

        2.常用導(dǎo)數(shù)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等重要知識(shí)求解。

        例3:(2010?湖北高考理科?T17)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂 和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度 (單位:cm)滿(mǎn)足關(guān)系: ,若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè) 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

       。á瘢┣ 的值及 的表達(dá)式;

        (Ⅱ)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用 達(dá)到最小,并求最小值.

        【命題立意】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題求函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值,考查考生的閱讀理解及運(yùn)算求解能力.

        【思路點(diǎn)撥】 的表達(dá)式 的最小值

        【規(guī)范解答】(Ⅰ)設(shè)隔熱層厚度 cm,由題意建筑物每年的能源消耗費(fèi)用為 ,再由 得 ,故 ;又 厘米厚的隔熱層建造費(fèi)用為 ,所以由題意 = + = + 。

        (Ⅱ) ,令 0

        得 (舍去),當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,故 時(shí) 取得最小值,且最小值 = =70

        .因此當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小,且最小值為70萬(wàn)元。

        【方法技巧】解 函數(shù)應(yīng)用題的第一關(guān)是:正確理解題意,將實(shí)際問(wèn)題的要求轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出函數(shù)關(guān)系式,注明函數(shù)定義域;第二關(guān)是:針對(duì)列出的函數(shù)解析式按題目要求,選擇正確的數(shù)學(xué)思想將其作為一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答。

        【高考真題探究】

        1.(2010上海文數(shù))17.若 是方程式 的解,則 屬于區(qū)間 [答]( )

       。ˋ)(0,1). (B)(1,1.25). (C)(1.25,1.75) (D)(1.75,2)

        解析:

        知 屬于區(qū)間(1.75,2)

        2.(2010天津理數(shù))(2)函數(shù)f(x)= 的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

        (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

        【答案】B

        【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用,屬于容易題。

        由 及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)上。

        【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反,這類(lèi)選擇題通常采用代入排除的方法求解。

        3.(2010福建文數(shù))21.(本小題滿(mǎn)分12分)

        某港口 要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口 北偏西30°且與該港口相距20海里的 處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線(xiàn)方向以 海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò) 小時(shí)與輪船相遇。

        (Ⅰ)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?

        (Ⅱ)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值;

        (Ⅲ)是否存在 ,使得小艇以 海里/小時(shí)的航行速度行駛,總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇?若存在,試確定 的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

        21.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),考查函數(shù)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。

        解法一:

        設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里,則

        于是

        小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇,等價(jià)于方程 應(yīng)有兩個(gè)不等正根,即:

        解法二:

       。↖)若相遇時(shí)小艇的航行距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向?yàn)檎狈较。設(shè)小艇與輪船在C處相遇。

        則在Rt?OAC中,OC=20cos300=10- ,AC=30t,OC=vt.此時(shí),輪船航行時(shí)間t= , 。即,小艇以30 海里/小時(shí)的速度航行時(shí),相遇時(shí)小船的航行距離最小。

        【跟蹤模擬訓(xùn)練】

        一、選擇題(每小題6分,共36分)

        1. 若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算,參考數(shù)據(jù)如下:

        那么方程x3+x2-2x-2=0的一個(gè)近似根(精確度0.1)為( )

        (A)1.25(B)1.375(C)1.437 5 (D)1.5

        2.對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)( )

        (A)一定有零點(diǎn)

        (B)一定沒(méi)有零點(diǎn)

        (C)可能有兩個(gè)零點(diǎn)

        (D)至多有一個(gè)零點(diǎn)

        3.如圖,A、B、C、D是某煤礦的四個(gè)采煤點(diǎn),l為公路,圖中所示線(xiàn)段為道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形,已知A,B,C,D四個(gè)采煤點(diǎn)每天的采煤量之比約為3∶2∶1∶5,運(yùn)煤的費(fèi)用與運(yùn)煤的路程、所運(yùn)煤的重量都成正比.現(xiàn)要從P,Q,R,S中選出一處設(shè)立一個(gè)運(yùn)煤中轉(zhuǎn)站,使四個(gè)采煤點(diǎn)的煤運(yùn)到中轉(zhuǎn)站的費(fèi)用最少,則地點(diǎn)應(yīng)選在( )

        (A)P(B)Q(C)R(D)S

        4. 已知函數(shù)

        若方程f(x)=x+a有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

        (A)(-∞,0] (B)(-∞,1)

        (C)[0,1] (D)[0,+∞)

        5.若x1滿(mǎn)足2x+2x=5,x2滿(mǎn)足2x+2log2(x-1)=5,則x1+x2=( )

        (A) (B)3 (C) (D)4

        6.已知甲、乙兩車(chē)由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線(xiàn)(假定為直線(xiàn))行駛.甲車(chē)、乙車(chē)的速度曲線(xiàn)分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對(duì)于圖中給定的t0和t1,下列判斷中一定正確的是( )

        (A)在t1時(shí)刻,甲車(chē)在乙車(chē)前面

        (B)t1時(shí)刻后,甲車(chē)在乙車(chē)后面

        (C)在t0時(shí)刻,兩車(chē)的位置相同

        (D)t0時(shí)刻后,乙車(chē)在甲車(chē)前面

        二、填空題(每小題6分,共18分)

        7.為緩解南方部分地區(qū)電力用煤緊張的局面,某運(yùn)輸公司提出五種運(yùn)輸方案,據(jù)預(yù)測(cè),這五種方案均能在規(guī)定時(shí)間T完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)煤總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如下圖所示.在這五種方案中,運(yùn)煤效率(單位時(shí)間的運(yùn)煤量)逐步提高的是_________.(填寫(xiě)所有正確的圖象的編號(hào))

        8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一個(gè)近似解時(shí),已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_(kāi)_____.

        9.關(guān)于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ]上有解,則a的取值范圍為_(kāi)____.

        三、解答題(10、11題每題15分,12題16分,共46分)

        10.已知函數(shù)f(x)=4x+m?2x+1有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并求出零點(diǎn).

        11.某電腦生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一品牌筆記本電腦的投入成本是4 500元/臺(tái).當(dāng)筆記本電腦銷(xiāo)售價(jià)為6 000元/臺(tái)時(shí),月銷(xiāo)售量為a臺(tái);根據(jù)市場(chǎng)分析的結(jié)果表明,如果筆記本電腦的銷(xiāo)售價(jià)提高的百分率為x(0<x<1),那么月銷(xiāo)售量減少的百分率為x2.記銷(xiāo)售價(jià)提高的百分率為x時(shí),電腦企業(yè)的月利潤(rùn)是y(元).

       。1)寫(xiě)出月利潤(rùn)y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式;

       。2)試確定筆記本電腦的銷(xiāo)售價(jià),使得電腦企業(yè)的月利潤(rùn)最大.

        12.已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在區(qū)間[-1,4]上的最大值是12.

        (1)求f(x)的解析式;

       。2)是否存在自然數(shù)m,使得方程f(x)+ =0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

        參考答案

        1.【解析】選C.根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在

        1.406 25至1.437 5之間,

        因?yàn)榇藭r(shí)1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.1,故方程的一個(gè)近似根可以是1.437 5.

        2.【解析】選C.由于f(a)>0,f(b)>0,且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上,所以可能有兩個(gè)零點(diǎn).

        3.【解析】選C.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,采煤量比例系數(shù)為x,費(fèi)用比例系數(shù)為k,對(duì)于A,中轉(zhuǎn)站選在P點(diǎn)時(shí),費(fèi)用y1=3kxa+4kxa+3kxa

        +20kxa=30kxa;對(duì)于B,中轉(zhuǎn)站選在Q點(diǎn)時(shí),費(fèi)用y2=6kxa+2kxa+

        2kxa+15kxa=25kxa;對(duì)于C,中轉(zhuǎn)站選在R點(diǎn)時(shí),費(fèi)用y3=9kxa+

        4kxa+kxa+10kxa=24kxa;對(duì)于D,中轉(zhuǎn)站選在S點(diǎn)時(shí),費(fèi)用

        y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa,故選C.

        4.【解析】選B.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)和y=x+a的圖象.由圖可知a<1.

        5.【解析】選C.∵2x+2x=5?2x=5-2x,

        2x+2log2(x-1)=5?2log2(x-1)=5-2x.

        ∴可抽象出三個(gè)函數(shù)y=2x,y=2log2(x-1),y=5-2x, 在同一坐標(biāo)系中分別作出它們的圖象(如圖所示).

        觀察知:

        6.【解析】選A.由圖象可知,速度圖象與t軸圍成的面積表示汽車(chē)行駛的位移,在t0時(shí)刻,甲車(chē)的位移大于乙車(chē)的位移,故在t0時(shí)刻甲車(chē)應(yīng)在乙車(chē)的前面,且t0時(shí)刻兩車(chē)速度相同,故C、D不對(duì),t1時(shí)刻甲車(chē)的位移大于乙車(chē)的位移,故A對(duì).

        7.【解析】由于要求運(yùn)煤效率逐步提高,因此反映到圖象上各點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率即導(dǎo)數(shù)應(yīng)逐漸增大,而只有②符合.

        答案:②

        8.【解析】令f(x)=x3-2x-1,

        顯然f(1)<0,f(2)>0,

        又

        答案:( ,2)

        9.【解析】原方程可化為a=sin2x+sinx-1,方程有解當(dāng)且僅當(dāng)a屬

        于函數(shù)y=sin2x+sinx-1的值域時(shí),而y=sin2x+sinx-1=(sinx+ )2- ,∵x∈(0, ],∴sinx∈(0,1].可求得值域?yàn)?-1,1],即a的取值范圍是(-1,1].

        答案:(-1,1]

        10.【解析】由題 知:方程4x+m?2x+1=0只有一個(gè)零點(diǎn).

        令2x=t(t>0),

        ∴方程t2+m?t+1=0只有一個(gè)正根,

        ∴由圖象可知,

        當(dāng)m=-2時(shí)t=1,∴x=0.

        ∴函數(shù)的零點(diǎn)為x=0.

        11.【解析】(1)依題意,銷(xiāo)售價(jià)提高后為6 000(1+x)元/臺(tái),月銷(xiāo)售量為a(1-x2)臺(tái),

        則y=a(1-x2)[6 000(1+x)-4 500]

        即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).

       。2)y′= 1500a(-12x2-2x+4),

        令y′=0,得6x2+x-2=0,

        解得,x=1/2,x=-2/3(舍去).

        當(dāng)0<x<1>0;當(dāng)1/2<x<1時(shí),y’<0.

        答案:(1,+∞)

        6.設(shè) 為實(shí)數(shù),已知函數(shù)

       。1)當(dāng) =1時(shí),求函數(shù) 的極值。

        (2)若方程 =0有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求 的取值范圍。

       。2)因?yàn)閒′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)][x-(a+1)],所以方程f′(x)=0的兩根為a-1和a+1,

        顯然,函數(shù)f(x)在x=a-1處取得極大值,在x=a+1處取得極小值.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根,

        解得-2故a的取值范圍是(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2).

        7.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上滿(mǎn)足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.

        (1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;

        (2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2 009, 2 009]上的根的 個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

        【解析】(1)由已知得f(0)≠0,故f(x)不是奇函數(shù),

        又f(-1)=f(5)≠0,故y軸不是函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸,即f(x)不是偶函數(shù).

        綜上知,函數(shù)y=f(x)既不是奇 函數(shù)又不是偶函數(shù).

        又f(3)=f(1)=0,

        ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.

        故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有2個(gè)根,從而可知函數(shù)y=f(x)在[0,2 000]上有400個(gè)根,在[2 000,2 009]上有2個(gè)根,在[-2 000,0]上有400個(gè)根,在[-2 009,-2 000]上有2個(gè)根.

        所以函數(shù)y=f(x)在[-2 009,2 009]上有804個(gè)根.

        2016屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算復(fù)習(xí)教案

        導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

        一.復(fù)習(xí)目標(biāo):

        理解導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求簡(jiǎn)單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.

        二.知識(shí)要點(diǎn):

        1.導(dǎo)數(shù)的概念: ;

        2.求導(dǎo)數(shù)的步驟是

        3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是 .

        三.前預(yù)習(xí):

        1.函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是 ( )

        2.已知函數(shù) 的解析式可 ( )

        3.曲線(xiàn) 上兩點(diǎn) ,若曲線(xiàn)上一點(diǎn) 處的切線(xiàn)恰好平行于弦 ,則點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ( )

        4.若函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)在第四象限,則函數(shù) 的圖象是( )

        5.已知曲線(xiàn) 在 處的切線(xiàn)的傾斜角為 ,則 , .

        6.曲線(xiàn) 與 在交點(diǎn)處的切線(xiàn)的夾角是 .

        四.例題分析:

        例1.(1)設(shè)函數(shù) ,求 ;

       。2)設(shè)函數(shù) ,若 ,求 的值.

       。3)設(shè)函數(shù) ,求 .

        解:(1) ,∴

       。2)∵ ,∴

        由 得: ,解得: 或

       。3)

        例2.物體在地球上作自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí),下落距離 其中 為經(jīng)歷的時(shí)間, ,若 ,則下列說(shuō)法正確的是( )

       。ˋ)0~1s時(shí)間段內(nèi)的速率為

       。˙)在1~1+△ts時(shí)間段內(nèi)的速率為

        (C)在1s末的速率為

       。―)若△t>0,則 是1~1+△ts時(shí)段的速率;

        若△t<0,則 是1+△ts~1時(shí)段的速率.

        小結(jié):本例旨在強(qiáng)化對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解, 中的△t可正可負(fù)

        例3.(1)曲線(xiàn) : 在 點(diǎn)處的切線(xiàn)為 在 點(diǎn)處的切線(xiàn)為 ,求曲線(xiàn) 的方程;

       。2)求曲線(xiàn) 的過(guò)點(diǎn) 的切線(xiàn)方程.

        解:(1)已知兩點(diǎn)均在曲線(xiàn)C上. ∴

        ∴ , 可求出

        ∴曲線(xiàn) :

       。2)設(shè)切點(diǎn)為 ,則斜率 ,過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為:

        ,∵過(guò)點(diǎn) ,∴

        解得: 或 ,當(dāng) 時(shí),切點(diǎn)為 ,切線(xiàn)方程為:

        當(dāng) 時(shí),切點(diǎn)為 ,切線(xiàn)方程為:

        例4.設(shè)函數(shù) (1)證明:當(dāng) 且 時(shí), ;

        (2)點(diǎn) (0<x0<1)在曲線(xiàn) 上,求曲線(xiàn)上在點(diǎn) 處的切線(xiàn)與 軸, 軸正向所圍成的三角形面積的表達(dá)式.(用 表示)

        解:(1)∵ ,∴ ,兩邊平方得:

        即: ,∵ ,∴ ,∴

        (2)當(dāng) 時(shí), ,

        曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為: ,即:

        ∴切線(xiàn)與與 軸, 軸正向的交點(diǎn)為

        ∴所求三角形的面積為

        例5.求函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

        解:首先由 得 知,兩曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn).

        ,要與已知直線(xiàn)平行,須 ,

        故切點(diǎn):(0 , -2). .

        五.后作業(yè): 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名

        1.曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程為()

        2.已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為 ,則該質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)的瞬時(shí)速度為 ( )

        120 80 50

        3.設(shè)點(diǎn) 是曲線(xiàn) 上的任意一點(diǎn),點(diǎn) 處切線(xiàn)的傾斜角為 ,則角 的取值范圍是 ( )

        4.若 ,則

        5.設(shè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ,且 ,則

        已知曲線(xiàn)

       。1)求曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)方程;(2)求過(guò)點(diǎn) 并與曲線(xiàn) 相切的直線(xiàn)方程.

        7.設(shè)曲線(xiàn) : , 在哪一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率最?設(shè)此點(diǎn)為

        求證:曲線(xiàn) 關(guān)于 點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).

        8.已知函數(shù) . 若 ,且 , ,求 .

        9..曲線(xiàn) 上有一點(diǎn) ,它的坐標(biāo)均為整數(shù),且過(guò) 點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為正數(shù),求此點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)的切線(xiàn)方程.

        10.已知函數(shù) 的圖像過(guò)點(diǎn) .過(guò) 點(diǎn)的切線(xiàn)與圖象僅 點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn),又知切線(xiàn)斜率的最小值為2,求 的解析式.

        2016屆高考理科數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

        高考導(dǎo)航

        考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

        1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義

        (1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景;

        (2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

        2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

        (1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的導(dǎo)數(shù);

        (2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).

        3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

        (1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);

        (2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).

        4.生活中的優(yōu)化問(wèn)題

        會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題.

        5.定積分與微積分基本定理

        (1)了解定積分的實(shí)際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念;

        (2)了解微積分基本定理的含義.本章重點(diǎn):

        1.導(dǎo)數(shù)的概念;

        2.利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率;

        3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間;

        4.利用導(dǎo)數(shù)求極值或最值;

        5.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題最優(yōu)解.

        本章難點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.  導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一,也是中學(xué)選學(xué)內(nèi)容中較為重要的知識(shí)之一.由于其應(yīng)用的廣泛性,為我們解決有關(guān)函數(shù)、數(shù)列問(wèn)題提供了更一般、更有效的方法.因此,本章知識(shí)在高考題中常在函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)最值不等式問(wèn)題中有所體現(xiàn),既考查數(shù)形結(jié)合思想,分類(lèi)討論思想,也考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來(lái)考查導(dǎo)數(shù)與定積分的基本運(yùn)算與簡(jiǎn)單的幾何意義,而以解答 題的形式來(lái)綜合考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

        知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

        3 .1 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

        典例精析

        題型一 導(dǎo)數(shù) 的概念

        【例1】 已知函數(shù)f(x)=2ln 3x+8x,

        求 f(1-2Δx)-f(1)Δx的值.

        【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知:

        f(1-2Δx)-f(1)Δx=-2 f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f′(1)=-20.

        【點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率,即求當(dāng)Δx→0時(shí), 平均變化率ΔyΔx的極限.

        【變式訓(xùn)練1】某市在一次降雨過(guò)程中,降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為f(t)=t2100,則在時(shí)刻t=10 min的降雨強(qiáng)度為(  )

        A.15 mm/minB.14 mm/min

        C.12 mm/minD.1 mm/min

        【解析】選A.

        題型二 求導(dǎo)函數(shù)

        【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

        (1)y=ln(x+1+x2);

        (2)y=(x2-2x+3)e2x;

        (3)y=3x1-x.

        【解析】運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則.

        (1)y′=1x+1+x2(x+1+x2)′

        =1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2.

        (2)y′=(2x-2)e2x+2(x2-2x+3)e2x

       。2(x2-x+2)e2x.

        (3)y′=13(x1-x 1-x+x(1-x)2

       。13(x1-x 1(1-x)2

        =13x (1-x)

        【變式訓(xùn)練2】如下圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線(xiàn)段ABC,其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0))=       ; f(1+Δx)-f(1)Δx=       (用數(shù)字作答).

        【解析】f(0)=4,f(f(0))=f(4)=2,

        由導(dǎo)數(shù)定義 f(1+Δx)-f(1)Δx=f′(1).

        當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=4-2x,f′(x)=-2,f′(1)=-2.

        題型三 利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率

        【例3】 已知曲線(xiàn)C:y=x3-3x2+2x, 直線(xiàn)l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)P(x0,y0) (x0≠0),求直線(xiàn)l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).

        【解析】由l過(guò)原點(diǎn),知k=y(tǒng)0x0 (x0≠0),又點(diǎn)P(x0,y0) 在曲線(xiàn)C上,y0=x30-3x20+2x0,

        所以 y0x0=x20-3x0+2.

        而y′=3x2-6x+2,k=3x20-6x0+2.

        又 k=y(tǒng)0x0,

        所以3x20-6x0+2=x20-3x0+2,其中x0≠0,

        解得x0=32.

        所以y0=-38,所以k=y(tǒng)0x0=-14,

        所以直線(xiàn)l的方程為y=-14x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(32,-38).

        【點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)在曲線(xiàn)上,又曲線(xiàn)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來(lái)列方程,即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo).

        【變式訓(xùn)練3】若函數(shù)y=x3-3x+4的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,2),求此切線(xiàn)方程.

        【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則由

        y′=3x2-3得切線(xiàn)的斜率為k=3x20-3.

        所以函數(shù)y=x3-3x+4在P(x0,y0)處的切線(xiàn)方程為

        y-y0=(3x20-3)(x-x0).

        又切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,2),得

        2-y0=(3x20-3)(-2-x0),①

        而切點(diǎn)在曲線(xiàn)上,得y0=x30-3x0+4, ②

        由①②解得x0=1或x0=-2.

        則切線(xiàn)方程為y=2 或 9x-y+20=0.

        總結(jié)提高

        1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種求法:

        (1) 導(dǎo)數(shù)的定義,即求 ΔyΔx= f(x0+Δx)-f(x0)Δx的值;

        (2)先求導(dǎo)函數(shù)f′(x),再將x=x0的值代入,即得f′(x0)的值.

        2.求y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的幾種方法:

        (1)利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;

        (2)利用四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式;

        (3)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.

        3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是函數(shù)y=f(x)的曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線(xiàn)的斜率.

        導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

        典例精析

        題型一 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

        【例1】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

        【解析】函數(shù)f(x)=x2-ax-aln(x-1)的定義域是(1,+∞).

        f′(x)=2x-a-ax-1=2x(x-a+22)x-1,

       、偃鬭≤0,則a+22≤1,f′(x)=2x(x-a+22)x-1>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(1,+∞).

       、谌鬭>0,則a+22>1,

        故當(dāng)x∈(1,a+22]時(shí),f′(x)=2x(x-a+22)x-1≤0;

        當(dāng)x∈[a+22,+∞)時(shí),f′(x)=2x(x-a+22)x-1≥0,

        所以a>0時(shí),f(x)的減區(qū)間為(1,a+22],f(x)的增區(qū)間為[a+22,+∞).

        【點(diǎn)撥】在定義域x>1下,為了判定f′(x)符號(hào),必須討論實(shí)數(shù)a+22與0及1的大小,分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.

        【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)=x2+ln x-ax在(0,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.

        【解析】因?yàn)閒′(x)=2x+1x-a,f(x)在(0,1)上是增函數(shù),

        所以2x+1x-a≥0在(0,1)上恒成立,

        即a≤2x+1x恒成立.

        又2x+1x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)x=22時(shí),取等號(hào)).

        所以a≤22,

        故a的取值范圍為(-∞,22].

        【點(diǎn)撥】當(dāng)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)時(shí)?f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;同樣,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)時(shí)?f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來(lái)求參數(shù)的取值范圍了.

        題型二 求函數(shù)的極值

        【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時(shí)取得極值,且f(1)=-1.

        (1)試求常數(shù)a,b,c的值;

        (2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn),并說(shuō)明理由.

        【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

        因?yàn)閤=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),

        所以x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        又f(1)=-1,所以a+b+c=-1. ③

        由①②③解得a=12,b=0,c=-32.

        (2)由(1)得f(x)=12x3-32x,

        所以當(dāng)f′(x)=32x2-32>0時(shí),有x<-1或x>1;

        當(dāng)f′(x)=32x2-32<0時(shí),有-1<x<1.

        所以函數(shù)f(x)=12x3-32x在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數(shù),在(-1,1)上是減函數(shù).

        所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取得極大值f(-1)=1;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值f(1)=-1.

        【點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導(dǎo)數(shù).對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)f(x)來(lái)講, f(x)在點(diǎn)x=x0處取極值的必要條件是f′(x)=0.但是, 當(dāng)x0滿(mǎn)足f′(x0)=0時(shí), f(x)在點(diǎn)x=x0處卻未必取得極 值,只有在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí),x0才是f(x)的極值點(diǎn).并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點(diǎn),f(x0)是極大值;如果f′(x)在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點(diǎn),f(x0)是極小值.

        【變式訓(xùn)練2】定義在R上的函數(shù)y=f(x),滿(mǎn)足f(3-x)=f(x),(x-32)f′(x)<0,若x1<x2,且x1+x2>3,則有(  )

        A. f(x1)<f(x2)B. f(x1)>f(x2)

        C. f(x1)=f(x2)D.不確定

        【解析】由f(3-x)=f(x)可得f[3-(x+32)]=f(x+32),即f(32-x)=f(x+32),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=32對(duì)稱(chēng).又因?yàn)?x-32)f′(x)<0,所以當(dāng)x>32時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x<32時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x1+x22=32時(shí),f(x1)=f(x2),因?yàn)閤1+x2>3,所以x1+x22>32,相當(dāng)于x1,x2的中點(diǎn)向右偏離對(duì)稱(chēng)軸,所以f(x1)>f(x2).故選B.

        題型三 求函數(shù)的最值

        【例3】 求函數(shù)f(x)=ln(1+x)-14x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.

        【解析】f′(x)=11+x-12x,令11+x-12x=0,化簡(jiǎn)為x2+x-2=0,解得x1=-2或x2=1,其中x1=-2舍去.

        又由f′(x)=11+x-12x>0,且x∈[0,2],得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),同理, 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2),所以f(1)=ln 2-14為函數(shù)f(x)的極大值.又因?yàn)閒(0)=0,f(2)=ln 3-1>0,f(1)>f(2),所以,f(0)=0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值,f(1)=ln 2-14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.

        【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a,b]上的最值,首先需求函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值,然后,將f(x)的各個(gè)極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,才能得出函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值.

        【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)=ax3-3x+1對(duì)x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a=   .

        【解析】若x=0,則無(wú)論a為 何值,f(x)≥0恒成立.

        當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)≥0可以化為a≥3x2-1x3,

        設(shè)g(x)=3x2-1x3,則g′(x)=3(1-2x)x4,

        x∈(0,12)時(shí),g′(x)>0,x∈(12,1]時(shí),g′(x)<0.

        因此g(x)max=g(12)=4,所以a≥4.

        當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)≥0可以化為

        a≤3x2-1x3,此時(shí)g′(x)=3(1-2x)x4>0,

        g(x)min=g(-1)=4,所以a≤4.

        綜上可知,a=4.

        總結(jié)提高

        1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是:

        (1)確定函數(shù)f(x)的定義域D;

        (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

        (3)根據(jù)f′(x)>0,且x∈D,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;根據(jù)f′(x)<0,且x∈D,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

        2.求函數(shù)極值的步驟是:

        (1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

        (2)求方程f′(x)=0的根;

        (3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號(hào),確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值.

        3.求函數(shù)最值的步驟是:

        先求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.

        3.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

        典例精析

        題型一 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

        【例1】已知函數(shù)f(x)=12x2+ln x.

        (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域;

        (2)求證:x>1時(shí),f(x)<23x3.

        【解析】(1)由已知f′(x)=x+1x,

        當(dāng)x∈[1,e]時(shí),f′(x)>0,因此f(x)在 [1,e]上為增函數(shù).

        故f(x)max=f(e)=e22+1,f(x)min=f(1)=12,

        因而f(x)在區(qū)間[1,e]上的值域?yàn)閇12,e22+1].

        (2)證明:令F(x)=f(x)-23x3=-23x3+12x2+ln x,則F′(x)=x+1x-2x2=(1-x)(1+x+2x2)x,

        因?yàn)閤>1,所以F′(x)<0,

        故F(x)在(1,+∞)上為減函數(shù).

        又F(1)=-16<0,

        故x>1時(shí),F(xiàn)(x)<0恒成立,

        即f(x)<23x3.

        【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明,構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.

        【變式訓(xùn)練1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí),f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí)(  )

        A.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0

        C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0

        【解析】選B.

        題型二 優(yōu)化問(wèn)題

        【例2】 (2009湖南)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個(gè)橋墩相距m米,余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元;距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+x)x萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元.

        (1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

        (2)當(dāng)m=640米時(shí),需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?

        【解析】(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩,則(n+1)x=m,

        即n=mx-1.

        所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x

       。256(mx-1)+mx(2+x)x

       。256mx+mx+2m-256.

        (2)由(1)知f′(x)=-256mx2+12mx =m2x2(x -512).

        令f′(x)=0,得x =512.所以x=64.

        當(dāng)0<x<64時(shí),f′(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)64<x<640時(shí),f′(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).

        所以f(x)在x=64處取得最小值.

        此時(shí)n=mx-1=64064-1=9.

        故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.

        【變式訓(xùn)練2】(2010上海)如圖所示,為了制作一個(gè)圓柱形燈籠,先要制作4個(gè)全等的矩形骨架,總計(jì)耗用9.6米鐵絲,骨架把圓柱底面8等份,再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí),S取得最大值?并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).

        【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r,高為h,

        則由已知可得4(4r+2h)=9.6,所以2r+h=1.2.

        S=2.4πr-3πr2,h=1.2-2r>0,所以r<0.6.

        所以S=2.4πr-3πr2(0<r<0.6).

        令f(r)=2.4πr-3πr2,則f′(r)=2 .4π-6πr.

        令f′(r)=0得r=0.4.所以當(dāng)0<r<0.4,f′(r)>0;

        當(dāng)0.4<r<0.6,f′(r)<0.

        所以r=0.4時(shí)S最大,Smax=1.51.

        題型三 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

        【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)=13x3-mx2+(m2-4)x,x∈R.

        (1)當(dāng)m=3時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程;

        (2)已知函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0,α,β,且α<β.若對(duì)任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

        【解析】(1)當(dāng)m=3時(shí),f(x)=13x3-3x2+5x,f′(x)=x2-6x+5.

        因?yàn)閒(2)=23,f′(2)=-3,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,23),切線(xiàn)的斜率為-3,

        則所求的切線(xiàn)方程為y-23=-3(x-2),即9x+3y-20=0.

        (2)f′(x)=x2-2mx+(m2-4).

        令f′(x)=0,得x=m-2或x=m+2.

        當(dāng)x∈(-∞,m-2)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函數(shù);

        當(dāng)x∈(m-2,m+2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是減函數(shù);

        當(dāng)x∈(m+2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函數(shù).

        因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)互不 相同的零點(diǎn)0,α,β,且f(x)=13x[x2-3mx+3(m2-4)],

        所以

        解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).

        當(dāng)m∈(-4,-2)時(shí),m-2<m+2<0,

        所以α<m-2<β<m+2<0.

        此時(shí)f(α)=0,f(1)>f(0)=0,與題意不合,故舍去.

        當(dāng)m∈(-2,2)時(shí),m-2<0<m+2,

        所以α<m-2<0<m+2<β.

        因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,

        所以α<1<β.

        所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.

        因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí),函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,

        所以m+2=1,即m=-1.

        當(dāng)m∈(2,4)時(shí),0<m-2<m+2,

        所以0<m-2<α<m+2<β.

        因?yàn)閷?duì)任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,

        所以α<1<β.

        所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α,β]上的最小值.

        因?yàn)楫?dāng)x=m+2時(shí),函數(shù)f(x)在[α,β]上取最小值,

        所以m+2=1,即m=-1(舍去).

        綜上可知,m的取值范圍是{-1}.

        【變式訓(xùn)練3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.

        (1)討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性;

        (2)若方程f(x)=g(x)在區(qū)間[2,e]上有兩個(gè)不等解,求a的取值范圍.

        【解析】(1)當(dāng)a>0時(shí),F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(1a,+∞),遞 減區(qū)間為(0,1a);

        當(dāng)a≤0時(shí),F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞).

        (2)[12ln 2,1e).

        總結(jié)提高

        在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.

        3.4 定積分與微積分基本定理

        典例精析

        題型一 求常見(jiàn)函數(shù)的定積分

        【例1】 計(jì)算下列定積分的值.

        (1) (x-1)5dx;

        (2) (x+sin x)dx.

        【解析】(1)因?yàn)閇16(x-1)6]′=(x-1)5,

        所以 (x-1)5dx= =16.

        (2)因?yàn)?x22-cos x)′=x+sin x,

        所以 (x+sin x)dx= =π28+1.

        【點(diǎn)撥】(1)一般情況下,只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù),就能求出定積分的值;

        (2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí),應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分,再求和;

        (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)后積分;

        (4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí),可用以下結(jié)論:

        ①若f(x)是偶函數(shù) 時(shí),則 f(x)dx=2 f(x)dx;

        ②若f(x)是奇函數(shù)時(shí),則 f(x)dx=0.

        【變式訓(xùn)練1】求 (3x3+4sin x)dx.

        【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直線(xiàn)x=-5,x=5,y=0和曲線(xiàn) y=3x3+4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,且在x軸上方 的面積取正號(hào),在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).

        又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)

       。剑(3x3+4sin x)=-f(x).

        所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函數(shù),

        所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx,

        所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.

        題型二 利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積

        【例2】求拋物線(xiàn)y2=2x與直線(xiàn)y=4-x所圍成的平面圖形的面積.

        【解析】方法一:如圖,

        由

        得交點(diǎn)A(2,2),B(8,-4),

        則S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx

       。163+383=18.

        方法二:S= [(4-y)-y22]dy

       。 =18.

        【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征,選擇不同的積分變量,可使計(jì)算簡(jiǎn)捷,在以y為積分變量時(shí),應(yīng)注意將曲線(xiàn)方程變?yōu)閤=φ(y)的形式,同時(shí),積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.

        【變式訓(xùn)練2】設(shè)k 是一個(gè)正整數(shù),(1+xk)k的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為116,則函數(shù)y=x2與y=kx-3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為    .

        【解析】Tr+1=Crk(xk)r,令r=3,得x3的系數(shù)為C3k1k3=116,解得k=4.由 得函數(shù)y=x2與y=4x-3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.

        所以陰影部分的面積為S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.

        題型三 定積分在物理中的應(yīng)用

        【例3】 (1) 變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v (t)=1-t2,初始位置為x0=1,求它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程及2秒末所在的位置;

        (2)一物體按規(guī)律x=bt3作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離,媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方,試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí)阻力所做的功.

        【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時(shí),v(t)≥0,當(dāng)1≤t≤2時(shí),v(t)≤0,所以前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為

        s= v(t)dt+ (-v(t))dt

        = (1-t2)dt+ (t2-1)dt

        = + =2.

        2秒末所在的位置為

        x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.

        所以它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為2,2秒末所在的位置為x1=13.

        (2) 物體的速度為v=(bt3)′=3bt2.

        媒質(zhì)阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k為比例常數(shù),且k>0.

        當(dāng)x=0時(shí),t=0;

        當(dāng)x=a時(shí),t=t1=(ab) ,

        又ds=vdt,故阻力所做的功為

        W阻= ds = kv2?vdt=k v3dt

       。 k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.

        【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意:v(t)= a(t)dt,s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx這三個(gè)公式.

        【變式訓(xùn)練3】定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F[1,log2(x2-4x+9)]的圖象為曲線(xiàn)C1,曲線(xiàn)C1與y軸交于點(diǎn)A(0,m),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線(xiàn)C1作切線(xiàn),切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線(xiàn)C1在點(diǎn)A,B之間的曲線(xiàn)段與線(xiàn)段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值.

        【解析】因?yàn)镕(x,y)=(1+x)y,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9,故A(0,9),又過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線(xiàn)C1作切線(xiàn),切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4.

        所以 解得B(3,6),

        所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.

        總結(jié)提高

        1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過(guò)逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).?

        2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過(guò)程和物理原理.?

        3.利用定積分求平面圖形面積的步驟:?

       。1)畫(huà)出草圖,在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出曲線(xiàn)或直線(xiàn)的大致圖象;?

       。2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限;?

        (3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和;?

        2016屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理數(shù)列的通項(xiàng)公式復(fù)習(xí)教案

        教案64 數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)

        一、前檢測(cè)

        1.等差數(shù)列 是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為 ,且 成等比數(shù)列, 。求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。

        解:設(shè)數(shù)列 公差為

        ∵ 成等比數(shù)列,∴ ,

        即

        由①②得: ,

        2.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿(mǎn)足 。求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。

        解:由

        當(dāng) 時(shí),有

        經(jīng)驗(yàn)證 也滿(mǎn)足上式,所以

        二、知識(shí)梳理

       。ㄒ唬⿺(shù)列的通項(xiàng)公式

        一個(gè)數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關(guān)系,如果可用一個(gè)公式an=f(n)表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        解讀:

        (二)通項(xiàng)公式的求法(7種方法)

        1.定義法與觀察法(合情推理:不完全歸納法):直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類(lèi)型的題目;有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。

        解讀:

        2.公式法:在數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為:

        (數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為 ).

        解讀:

        3.周期數(shù)列

        解法:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng),尋找周期。

        4.由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)

        類(lèi)型1 遞推公式為

        解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ,利用累加法(逐差相加法)求解。

        類(lèi)型2 (1)遞推公式為

        解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

        (2)由 和 確定的遞推數(shù)列 的通項(xiàng)可如下求得:

        由已知遞推式有 , , , 依次向前代入,得 ,這就是疊(迭)代法的基本模式。

        類(lèi)型3 遞推公式為 (其中p,q均為常數(shù), )。

        解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為: ,其中 ,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。

        三、典型例題分析

        題型1 周期數(shù)列

        例1 若數(shù)列 滿(mǎn)足 ,若 ,則 =____。答案: 。

        變式訓(xùn)練1 (2005,湖南5)已知數(shù)列 滿(mǎn)足 ,則 =( B )

        A.0 B. C. D.

        小結(jié)與拓展:由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng),尋找周期。

        題型2 遞推公式為 ,求通項(xiàng)

        例2 已知數(shù)列 ,若滿(mǎn)足 , ,求 。

        答案:

        變式訓(xùn)練2 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 , ,求 。

        解:由條知:

        分別令 ,代入上式得 個(gè)等式累加之,即

        所以

        小結(jié)與拓展:在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

        題型3 遞推公式為 ,求通項(xiàng)

        例3 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 , ,求 。

        解:由條知 ,分別令 ,代入上式得 個(gè)等式累乘之,即

        又 ,

        變式訓(xùn)練3 已知 , ,求 。

        解:

        小結(jié)與拓展:在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).

        題型4 遞推公式為 (其中p,q均為常數(shù), ),求通項(xiàng)

        例4 在數(shù)列 中, ,當(dāng) 時(shí),有 ,求 的通項(xiàng)公式。

        解法1:設(shè) ,即有 ,對(duì)比 ,得 ,于是得 ,數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,所以有 。

        解法2:由已知遞推式,得 ,上述兩式相減,得 ,因此,數(shù)列 是以 為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列。所以 ,即 ,所以 。

        變式訓(xùn)練4 在數(shù)列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),則該數(shù)列的通項(xiàng)an=__2n+1-3___.

        小結(jié)與拓展:此類(lèi)數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解,構(gòu)造的辦法有兩種,一是待定系數(shù)法構(gòu)造,設(shè) ,展開(kāi)整理 ,比較系數(shù)有 ,所以 ,所以 是等比數(shù)列,公比為 ,首項(xiàng)為 。二是用做差法直接構(gòu)造, , ,兩式相減有 ,所以 是公比為 的等比數(shù)列。也可用“歸納—猜想—證明”法求,這也是近年高考考得很多的一種題型.

        四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)

        總結(jié)方法比做題更重要!方法產(chǎn)生于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中.

        壓軸題放縮法技巧全總結(jié)

        高考數(shù)學(xué)備考之 放縮技巧

        證明數(shù)列型不等式,因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng),需要有較高的放縮技巧而充滿(mǎn)思考性和挑戰(zhàn)性,能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力,因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類(lèi)問(wèn)題的求解策略往往是:通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu),深入剖析其特征,抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s;其放縮技巧主要有以下幾種:

        一、裂項(xiàng)放縮

        例1.(1)求 的值; (2)求證: .

        解析:(1)因?yàn)?,所以

        (2)因?yàn)?,所以

        技巧積累:(1) (2)

        (3)

        例2.(1)求證:

        (2)求證: (3)求證:

        (4) 求證:

        解析:(1)因?yàn)?,所以

        (2)

        (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出 ,再結(jié)合 進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案

        (4)首先 ,所以容易經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)得到

        再證 而由均值不等式知道這是顯然成立的,

        所以

        例3.求證:

        解析: 一方面: 因?yàn)?,所以

        另一方面:

        當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,

        當(dāng) 時(shí), ,

        所以綜上有

        例4.(2008年全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù) .數(shù)列 滿(mǎn)足 . .

        設(shè) ,整數(shù) .證明: .

        解析: 由數(shù)學(xué)歸納法可以證明 是遞增數(shù)列,

        故 若存在正整數(shù) , 使 , 則 ,

        若 ,則由 知 , ,

        因?yàn)?,于是

        例5.已知 ,求證: .

        解析:首先可以證明:

        所以要證

        只要證:

        故只要證 ,

        即等價(jià)于 ,

        即等價(jià)于 而正是成立的,所以原命題成立.

        例6.已知 , ,求證: .

        解析:

        所以

        從而

        例7.已知 , ,求證:

        證明: ,

        因?yàn)?,所以

        所以

        二、函數(shù)放縮

        例8.求證: .

        解析:先構(gòu)造函數(shù)有 ,從而

        cause

        所以

        例9.求證:(1)

        解析:構(gòu)造函數(shù) ,得到 ,再進(jìn)行裂項(xiàng) ,求和后可以得到答案

        函數(shù)構(gòu)造形式: ,

        例10.求證:

        解析:提示:

        函數(shù)構(gòu)造形式:

        當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮

        如圖,取函數(shù) ,

        首先: ,從而,

        取 有, ,

        所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:

        另一方面 ,從而有

        取 有, ,

        所以有 ,所以綜上有

        例11.求證: 和 .解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明

        例12.求證: 解析: ,疊加之后就可以得到答案

        函數(shù)構(gòu)造形式: (加強(qiáng)命題)

        例13.證明:

        解析:構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),可以得到:

        ,令 有 ,令 有 ,

        所以 ,所以 ,令 有,

        所以 ,所以

        例14. 已知 證明 .

        解析: ,

        然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到

        然后運(yùn)用 和裂項(xiàng)可以得到答案)

        放縮思路:

        。于是 ,

        即

        注:題目所給條 ( )為一有用結(jié)論,可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當(dāng)然,本題還可用結(jié)論 放縮:

        即

        例16.(2008年福州市質(zhì)檢)已知函數(shù) 若

        解析:設(shè)函數(shù)

        ∴函數(shù) )上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.∴ 的最小值為 ,即總有

        而

        即

        令 則

        例15.(2008年廈門(mén)市質(zhì)檢) 已知函數(shù) 是在 上處處可導(dǎo)的函數(shù),若 在 上恒成立.

        (I)求證:函數(shù) 上是增函數(shù); (II)當(dāng) ;

        (III)已知不等式 時(shí)恒成立,

        求證:

        解析:(I) ,所以函數(shù) 上是增函數(shù)

        (II)因?yàn)?上是增函數(shù),所以

        兩式相加后可以得到

        (3)

        相加后可以得到:

        所以

        令 ,有

        所以

        (方法二)

        所以

        又 ,所以

        三、分式放縮

        姐妹不等式: 和

        記憶口訣”小者小,大者大”

        解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.

        例19. 姐妹不等式: 和

        也可以表示成為

        和

        解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 可得

        即

        例20.證明:

        解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮:

        (加1)

        (加2)

        相乘,可以得到:

        所以有

        四、分類(lèi)放縮

        例21.求證:

        解析:

        例22.(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系 中, 軸正半軸上的點(diǎn)列 與曲線(xiàn) ( ≥0)上的點(diǎn)列 滿(mǎn)足 ,直線(xiàn) 在x軸上的截距為 .點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , .

        (1)證明 > >4, ; (2)證明有 ,使得對(duì) 都有 < .

        解析:(1) 依題設(shè)有: ,由 得:

        ,又直線(xiàn) 在 軸上的截距為 滿(mǎn)足

        顯然,對(duì)于 ,有

        (2)證明:設(shè) ,則

        設(shè) ,則當(dāng) 時(shí),

        所以,取 ,對(duì) 都有:

        故有 < 成立。

        例23.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù) ,若 的定義域?yàn)閇-1,0],值域也為[-1,0].若數(shù)列 滿(mǎn)足 ,記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,問(wèn)是否存在正常數(shù)A,使得對(duì)于任意正整數(shù) 都有 ?并證明你的結(jié)論。

        解析:首先求出 ,∵

        ,故當(dāng) 時(shí), ,

        因此,對(duì)任何常數(shù)A,設(shè) 是不小于A的最小正整數(shù),

        則當(dāng) 時(shí),必有 .

        故不存在常數(shù)A使 對(duì)所有 的正整數(shù)恒成立.

        例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?,

        設(shè) 內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .設(shè) , 當(dāng) 時(shí),求證: .

        解析:容易得到 ,所以,要證 只要證 ,因?yàn)?,所以原命題得證

        五、迭代放縮

        例25. 已知 ,求證:當(dāng) 時(shí),

        解析:通過(guò)迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到結(jié)論

        例26. 設(shè) ,求證:對(duì)任意的正整數(shù)k,若k≥n恒有:Sn+k-Sn<1n

        解析:

        又 所以

        六、借助數(shù)列遞推關(guān)系

        例27.求證:

        解析: 設(shè) 則

        ,從而

        ,相加后就可以得到

        所以

        例28. 求證:

        解析: 設(shè) 則

        ,從而

        ,相加后就可以得到

        例29. 若 ,求證:

        解析:

        所以就有

        七、分類(lèi)討論

        例30.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 滿(mǎn)足 證明:對(duì)任意的整數(shù) ,有

        解析:容易得到 ,

        由于通項(xiàng)中含有 ,很難直接放縮,考慮分項(xiàng)討論:

        當(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí)

       。p項(xiàng)放縮),于是

       、佼(dāng) 且 為偶數(shù)時(shí)

       、诋(dāng) 且 為奇數(shù)時(shí) (添項(xiàng)放縮)由①知 由①②得證。

        八、線(xiàn)性規(guī)劃型放縮

        例31. 設(shè)函數(shù) .若對(duì)一切 , ,求 的最大值。

        解析:由 知 即

        由此再由 的單調(diào)性可以知道 的最小值為 ,最大值為

        因此對(duì)一切 , 的充要條是, 即 , 滿(mǎn)足約束條 ,

        由線(xiàn)性規(guī)劃得, 的最大值為5.

        九、均值不等式放縮

        例32.設(shè) 求證

        解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為

        即

        注:①應(yīng)注意把握放縮的“度”:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 ,若放成 則得 ,就放過(guò)“度”了!

        ②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征選取所需要的重要不等式,這里

        其中, 等的各式及其變式公式均可供選用。

        例33.已知函數(shù) ,若 ,且 在[0,1]上的最小值為 ,求證:

        解析:

        例34.已知 為正數(shù),且 ,試證:對(duì)每一個(gè) , .

        解析: 由 得 ,又 ,故 ,而 ,

        令 ,則 = ,因?yàn)?,倒序相加得 = ,

        而 ,

        則 = ,所以 ,即對(duì)每一個(gè) , .

        例35.求證

        解析: 不等式左 = ,

        原結(jié)論成立.

        例36.已知 ,求證:

        解析:

        經(jīng)過(guò)倒序相乘,就可以得到

        例37.已知 ,求證:

        解析:

        其中: ,因?yàn)?/p>

        所以

        從而 ,所以 .

        例38.若 ,求證: .

        解析:

        因?yàn)楫?dāng) 時(shí), ,所以 ,所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到等號(hào).

        所以

        所以 所以

        例39.已知 ,求證: .

        解析: .

        例40.已知函數(shù)f(x)=x2-(-1)k2lnx(k∈N*).k是奇數(shù), n∈N*時(shí),

        求證: [f’(x)]n-2n-1f’(xn)≥2n(2n-2).

        解析: 由已知得 ,

        (1)當(dāng)n=1時(shí),左式= 右式=0.∴不等式成立.

        (2) , 左式=

        令

        由倒序相加法得:

        所以

        所以 綜上,當(dāng)k是奇數(shù), 時(shí),命題成立

        例41. (2007年?yáng)|北三校)已知函數(shù)

       。1)求函數(shù) 的最小值,并求最小值小于0時(shí)的 取值范圍;

        (2)令 求證:

        ★例42. (2008年江西高考試題)已知函數(shù) , .對(duì)任意正數(shù) ,證明: .

        解析:對(duì)任意給定的 , ,由 ,

        若令 ,則 ① ,而 ②

       。ㄒ唬、先證 ;因?yàn)?, , ,

        又由 ,得 .

        所以

       。ǘ、再證 ;由①、②式中關(guān)于 的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè) .則

       。?)、當(dāng) ,則 ,所以 ,因?yàn)?,

        ,此時(shí) .

       。?)、當(dāng) ③,由①得 , , ,

        因?yàn)?所以 ④

        同理得 ⑤ ,于是 ⑥

        今證明 ⑦, 因?yàn)?,

        只要證 ,即 ,也即 ,據(jù)③,此為顯然.

        因此⑦得證.故由⑥得 .

        綜上所述,對(duì)任何正數(shù) ,皆有 .

        例43.求證:

        解析:一方面:

        (法二)

        另一方面:

        十、二項(xiàng)放縮

        例44. 已知 證明

        解析:

        即

        45.設(shè) ,求證:數(shù)列 單調(diào)遞增且

        解析: 引入一個(gè)結(jié)論:若 則 (證略)

        整理上式得 ( )

        以 代入( )式得

        即 單調(diào)遞增。

        以 代入( )式得

        此式對(duì)一切正整數(shù) 都成立,即對(duì)一切偶數(shù)有 ,又因?yàn)閿?shù)列 單調(diào)遞增,所以對(duì)一切正整數(shù) 有 。

        注:①上述不等式可加強(qiáng)為 簡(jiǎn)證如下:

        利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮:

        只取前兩項(xiàng)有 對(duì)通項(xiàng)作如下放縮:

        故有

        ②上述數(shù)列 的極限存在,為無(wú)理數(shù) ;同時(shí)是下述試題的背景:已知 是正整數(shù),且 (1)證明 ;(2)證明 (01年全國(guó)卷理科第20題)

        簡(jiǎn)析 對(duì)第(2)問(wèn):用 代替 得數(shù)列 是遞減數(shù)列;借鑒此結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法:數(shù)列 遞減,且 故 即 。

        當(dāng)然,本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問(wèn)題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決!詳見(jiàn)[1]。

        例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求證:

        解析: 因?yàn)閍+b=1,a>0,b>0,可認(rèn)為 成等差數(shù)列,設(shè) ,

        從而

        例47.設(shè) ,求證 .

        解析: 觀察 的結(jié)構(gòu),注意到 ,展開(kāi)得

        ,即 ,得證.

        例48.求證: . 解析:參見(jiàn)上面的方法,希望讀者自己嘗試!)

        例42.(2008年北京海淀5月練習(xí)) 已知函數(shù) ,滿(mǎn)足:

        ①對(duì)任意 ,都有 ;

       、趯(duì)任意 都有 .

       。↖)試證明: 為 上的單調(diào)增函數(shù);

       。↖I)求 ;

       。↖II)令 ,試證明:.

        解析:本題的亮點(diǎn)很多,是一道考查能力的好題.

        (1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性:

        因?yàn)?,所以可以得到 ,

        也就是 ,不妨設(shè) ,所以,可以得到 ,也就是說(shuō) 為 上的單調(diào)增函數(shù).

        (2)此問(wèn)的難度較大,要完全解決出需要一定的能力!

        首先我們發(fā)現(xiàn)條不是很足,,嘗試探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么結(jié)論,一發(fā)現(xiàn)就有思路了!

        由(1)可知 ,令 ,則可以得到

        ,又 ,所以由不等式可以得到 ,又

        ,所以可以得到 ①

        接下要運(yùn)用迭代的思想:

        因?yàn)?,所以 , , ②

        在此比較有技巧的方法就是:

        ,所以可以判斷 ③

        當(dāng)然,在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,所以還可以列項(xiàng)的方法,把所有項(xiàng)數(shù)盡可能地列出,然后就可以得到結(jié)論.

        所以,綜合①②③有 =

        (3)在解決 的通項(xiàng)公式時(shí)也會(huì)遇到困難.

        ,所以數(shù)列 的方程為 ,從而 ,

        一方面 ,另一方面

        所以 ,所以,綜上有

        例49. 已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇0,1],且滿(mǎn)足下列條:

        ① 對(duì)于任意 [0,1],總有 ,且 ;② 若 則有

       。á瘢┣骹0的值;(Ⅱ)求證:fx≤4;

        (Ⅲ)當(dāng) 時(shí),試證明: .

        解析: (Ⅰ)解:令 ,由①對(duì)于任意 [0,1],總有 , ∴

        又由②得 即 ∴

       。á颍┙猓喝稳 且設(shè) 則

        因?yàn)?,所以 ,即 ∴ .

        ∴當(dāng) [0,1]時(shí), .

       。á螅┳C明:先用數(shù)學(xué)歸納法證明:

       。1)當(dāng)n=1時(shí), ,不等式成立;

       。2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),

        由

        得

        即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立

        由(1)、(2)可知,不等式 對(duì)一切正整數(shù)都成立.

        于是,當(dāng) 時(shí), ,

        而 [0,1], 單調(diào)遞增 ∴ 所以,

        例50. 已知: 求證:

        解析:構(gòu)造對(duì)偶式:令

        則 =

        又 (

        十一、積分放縮

        利用定積分的保號(hào)性比大小

        保號(hào)性是指,定義在 上的可積函數(shù) ,則 .

        例51.求證: .

        解析: ,∵ ,

        時(shí), , , ∴ , .

        利用定積分估計(jì)和式的上下界

        定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積,現(xiàn)在用它估計(jì)小矩形的面積和.

        例52. 求證: , .

        解析: 考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.

        如圖,顯然 -①

        對(duì) 求和,

        例53. 已知 .求證: .

        解析:考慮函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分.

        例54. (2003年全國(guó)高考江蘇卷)設(shè) ,如圖,已知直線(xiàn) 及曲線(xiàn) : , 上的點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ( ).從 上的點(diǎn) 作直線(xiàn)平行于 軸,交直線(xiàn) 于點(diǎn) ,再?gòu)狞c(diǎn) 作直線(xiàn)平行于 軸,交曲線(xiàn) 于點(diǎn) . 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 .

       。á瘢┰嚽 與 的關(guān)系,并求 的通項(xiàng)公式;

       。á颍┊(dāng) 時(shí),證明 ;

        (Ⅲ)當(dāng) 時(shí),證明 .

        解析: (過(guò)程略).

        證明(II):由 知 ,∵ ,∴ .

        ∵當(dāng) 時(shí), ,

        證明(Ⅲ):由 知 .

        ∴ 恰表示陰影部分面積,

        顯然 ④

        奇巧積累: 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得“初等”證明,如:

        十二、部分放縮(尾式放縮)

        例55.求證:

        解析:

        例56. 設(shè) 求證:

        解析:

        又 (只將其中一個(gè) 變成 ,進(jìn)行部分放縮), ,

        于是

        例57.設(shè)數(shù)列 滿(mǎn)足 ,當(dāng) 時(shí)

        證明對(duì)所有 有 ;

        解析: 用數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng) 時(shí)顯然成立,假設(shè)當(dāng) 時(shí)成立即 ,則當(dāng) 時(shí)

        ,成立。

        利用上述部分放縮的結(jié)論 放縮通項(xiàng),可得

        注:上述證明 用到部分放縮,當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮: ;證明 就直接使用了部分放縮的結(jié)論

        十三、三角不等式的放縮

        例58.求證: .

        解析:(i)當(dāng) 時(shí),

        (ii)當(dāng) 時(shí),構(gòu)造單位圓,如圖所示:

        因?yàn)槿切蜛OB的面積小于扇形OAB的面積

        所以可以得到

        當(dāng) 時(shí)

        所以當(dāng) 時(shí) 有

        (iii)當(dāng) 時(shí), ,由(ii)可知:

        所以綜上有

        十四、使用加強(qiáng)命題法證明不等式

        (i)同側(cè)加強(qiáng)

        對(duì)所證不等式的同一方向(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進(jìn)行加強(qiáng).如要證明 ,只要證明 ,其中 通過(guò)尋找分析,歸納完成.

        例59.求證:對(duì)一切 ,都有 .

        解析:

        從而

        當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如:

        所以 .

        (ii)異側(cè)加強(qiáng)(數(shù)學(xué)歸納法)

        (iii)雙向加強(qiáng)

        有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況,這時(shí),不妨”返璞歸真”,通過(guò)雙向加強(qiáng)還原其本面目,從而順利解決原不等式.其基本原理為:

        欲證明 ,只要證明: .

        例60.已知數(shù)列 滿(mǎn)足: ,求證:

        解析: ,從而 ,所以有

        ,所以

        又 ,所以 ,所以有

        所以

        所以綜上有

        引申:已知數(shù)列 滿(mǎn)足: ,求證: .

        解析:由上可知 ,又 ,所以

        從而

        又當(dāng) 時(shí), ,所以綜上有 .

        同題引申: (2008年浙江高考試題)已知數(shù)列 , , , .

        記 , .求證:當(dāng) 時(shí).

        (1) ; (2) ; ★(3) .

        解析:(1) ,猜想 ,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

        (i)當(dāng) 時(shí), ,結(jié)論成立;

        (ii)假設(shè)當(dāng) 時(shí), ,則 時(shí),

        從而 ,所以

        所以綜上有 ,故

        (2)因?yàn)?則 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以

        ,所以

        (3)因?yàn)?,從而 ,有 ,所以有

        ,從而

        ,所以

        ,所以

        所以綜上有 .

        例61.(2008年陜西省高考試題)已知數(shù)列 的首項(xiàng) , , .

        (1)證明:對(duì)任意的 , , ;

        (2)證明: .

        解析:(1)依題,容易得到 ,要證 , , ,

        即證

        即證 ,設(shè) 所以即證明

        從而 ,即 ,這是顯然成立的.

        所以綜上有對(duì)任意的 , ,

        (法二)

        , 原不等式成立.

        (2)由(1)知,對(duì)任意的 ,有

        取 ,

        則 .

        原不等式成立.

        十四、經(jīng)典題目方法探究

        探究1.(2008年福建省高考)已知函數(shù) .若 在區(qū)間 上的最小值為 ,

        令 .求證: .

        證明:首先:可以得到 .先證明

        (方法一) 所以

        (方法二)因?yàn)?,相乘得:

        ,從而 .

        (方法三)設(shè)A= ,B= ,因?yàn)锳<B,所以A2<AB,

        所以 , 從而 .

        下面介紹幾種方法證明

        (方法一)因?yàn)?,所以 ,所以有

        (方法二) ,因?yàn)?,所以

        令 ,可以得到 ,所以有

        (方法三)設(shè) 所以 ,

        從而 ,從而

        又 ,所以

        (方法四)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:

        (i)當(dāng) 時(shí),左邊= ,右邊= 顯然不等式成立;

        (ii)假設(shè) 時(shí), ,則 時(shí), ,

        所以要證明 ,只要證明 ,這是成立的.

        這就是說(shuō)當(dāng) 時(shí),不等式也成立,所以,綜上有

        探究2.(2008年全國(guó)二卷)設(shè)函數(shù) .如果對(duì)任何 ,都有 ,求 的取值范圍.

        解析:因?yàn)?,所以

        設(shè) ,則 ,

        因?yàn)?,所以

        (i)當(dāng) 時(shí), 恒成立,即 ,所以當(dāng) 時(shí), 恒成立.

        (ii)當(dāng) 時(shí), ,因此當(dāng) 時(shí),不符合題意.

        (iii)當(dāng) 時(shí),令 ,則 故當(dāng) 時(shí), .

        因此 在 上單調(diào)增加.故當(dāng) 時(shí), ,

        即 .于是,當(dāng) 時(shí),

        所以綜上有 的取值范圍是

        變式:若 ,其中

        且 , ,求證:

        證明:容易得到

        由上面那個(gè)題目知道

        就可以知道

        ★同型衍變:(2006年全國(guó)一卷)已知函數(shù) .若對(duì)任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范圍.

        解析:函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?-∞, 1)∪(1, +∞), 導(dǎo)數(shù)為 .

        (?) 當(dāng)0< a≤2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1) 為增函數(shù), 故對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時(shí)a滿(mǎn)足要求.

        (?) 當(dāng)a>2時(shí), f (x) 在區(qū)間 (- , )為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點(diǎn), 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而這時(shí)a不滿(mǎn)足要求.

        (?) 當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有

        ≥ , 這時(shí)a滿(mǎn)足要求.

        綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.

        2016屆高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)函數(shù)及其表示法提綱專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)教案

        2011-2012學(xué)年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

        1.函數(shù)及其表示法

        導(dǎo)學(xué)提綱

        1、你知道本節(jié)考綱的具體要求是什么?重點(diǎn)是什么?

        2.試解讀一下函數(shù)的概念

        ①敘述一下函數(shù)的定義,找一找關(guān)鍵詞

        ②符號(hào) 的含義是

       、酆瘮(shù)的定義域是什么?有幾種形式?

       、芎瘮(shù)的值域是什么?你知道基本初等函數(shù)的定義域和值域嗎?

       、莺瘮(shù)的三要素是什么?如何理解兩個(gè)相同的函數(shù)?

        ⑥如何用函數(shù)的觀點(diǎn)理解函數(shù)的圖像?

       、咴鯓永斫鈴(fù)合函數(shù)?舉例說(shuō)明。

        [:學(xué)科網(wǎng)]

       、嘣鯓永斫夥侄魏瘮(shù)?

        3、表示函數(shù)的常用方法是什么?

        4、映射的概念是什么?怎樣理解映射與函數(shù)的關(guān)系?

        堂問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

        1、 是一個(gè)函數(shù)嗎?

        2、若 是一個(gè)函數(shù),試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍。

        考向一:函數(shù)概念的理解和應(yīng)用

        例1、設(shè) , ,在下列各圖中能表示從集合A到集合B的映射是( ),從A到B的函數(shù)是( )

        A B C

        D E

        例2.設(shè) A= ,B= ,從A到B 的函數(shù)有多少個(gè)?

        又設(shè) ,從A到B 的函數(shù)是唯一的嗎?

        考向二:求函數(shù)的定義域

        1.求 定義域;

        2.已知 的定義域?yàn)?,求 定義域;

        3.已知 定義域?yàn)?,求函數(shù) 的定義域。

        考向三。分段函數(shù)求值

        例1、設(shè) ,則 =__

        例2、以知 則 __

        考向四。求函數(shù)解析式

        例1、①設(shè) 滿(mǎn)足 ,則 =

       、谠O(shè) ,,則 =

        ③設(shè) ,則 =

        ④設(shè) ,則 =

        例2、已知 是二次函數(shù),且滿(mǎn)足條: 且 ,

        試求 的解析式。

        四、時(shí)小結(jié):

        通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),掌握:1. 函數(shù)概念2. 根據(jù)“對(duì)應(yīng)法則”求函數(shù)值3. 求解析式的方法

        五、思考題:

        1、已知 ,集合 ,集合 ,

        若 ,求B。

        2、已知 滿(mǎn)足 ,且 , ,則 ___, ___

        3、設(shè) ,,P 為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集,又規(guī)定 , ,則以下四個(gè)命題中正確的是:( )

        ①若 ; ②若

        ③若 ; ④若

        4、已知 是三次函數(shù),且滿(mǎn)足下列條:

       。1)函數(shù) 圖象過(guò)原點(diǎn);(2) ;(3)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)的傾角為 ;試求 的解析式。

        5、設(shè) , 都是定義在R上的函數(shù),且方程 ,有實(shí)數(shù)解,那么 不可能是()[:學(xué)科網(wǎng)ZXX]

        A、 B、 C、 D、

        六、后作業(yè): 附板書(shū)設(shè)計(jì):

        一、函數(shù)概念:

       、 對(duì)應(yīng)

        映射

        任意

        2.函數(shù)

       、偃我

        ②記號(hào)

       、酆(jiǎn)記

        對(duì)應(yīng)形式:多對(duì)一,一對(duì)多。

        例1 例2

        3. 函數(shù)三要素:①定義域:A(非空、數(shù)集、優(yōu)先)

       、趯(duì)應(yīng)法則: [“加工” “產(chǎn)出”]

       、壑涤颍

        “ ” 的作用

       、 “加工”

       、凇吧罴庸ぁ

       、邸胺侄渭庸ぁ 分段函數(shù)

        ④決定函數(shù)性質(zhì)

        二、根據(jù)“對(duì)應(yīng)法則”求函數(shù)值

        例3 、例4

        三、求解析式的若干方法

       、贀Q元法:整體換元、配湊換元 例5

       、诜匠探M法 例5

        ③待定系數(shù)法 例6

        堂總結(jié)

        不等式的解法

        6.5 不等式的解法(二)

        ●知識(shí)梳理

        1.x>a x>a或x<-a(a>0);

        x<a -a<x<a(a>0).

        2.形如x-a+x-b≥c的不等式的求解通常采用“零點(diǎn)分段討論法”.

        3.含參不等式的求解,通常對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論.

        4.絕對(duì)值不等式的性質(zhì):

        a-b≤a±b≤a+b.

        思考討論

        1.在x>a x>a或x<-a(a>0)、x<a -a<x<a(a>0)中的a>0改為a∈R還成立嗎?

        2.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)中等號(hào)成立的條是什么?

        ●點(diǎn)擊雙基

        1.設(shè)a、b是滿(mǎn)足ab<0的實(shí)數(shù),那么

        A.a+b>a-b

        B.a+b<a-b

        C.a-b<a-b

        D.a-b<a+b

        解析:用賦值法.令a=1,b=-1,代入檢驗(yàn).

        答案:B

        2.不等式2x2-1≤1的解集為

        A.{x-1≤x≤1}B.{x-2≤x≤2}

        C.{x0≤x≤2}D.{x-2≤x≤0}

        解析:由2x2-1≤1得-1≤2x2-1≤1.

        ∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.

        答案:A

        3.不等式x+log3x<x+log3x的解集為

        A.(0,1)B.(1,+∞)

        C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)

        解析:∵x>0,x與log3x異號(hào),

        ∴l(xiāng)og3x<0.∴0<x<1.

        答案:A

        4.已知不等式a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立,則a的取值范圍是____________.

        解析:要使a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立,

        令t=x>0,則a≤ .

        而 ≥ =2 ,

        ∴a≤2 .

        答案:a≤2

        5.已知不等式2x-t+t-1<0的解集為(- , ),則t=____________.

        解析:2x-t<1-t,t-1<2x-t<1-t,

        2t-1<2x<1,t- <x< .

        ∴t=0.

        答案:0

        ●典例剖析

        【例1】 解不等式2x+1+x-2>4.

        剖析:解帶絕對(duì)值的不等式,需先去絕對(duì)值,多個(gè)絕對(duì)值的不等式必須利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解.令2x+1=0,x-2=0,得兩個(gè)零點(diǎn)x1=- ,x2=2.

        解:當(dāng)x≤- 時(shí),原不等式可化為

        -2x-1+2-x>4,

        ∴x<-1.

        當(dāng)- <x≤2時(shí),原不等式可化為

        2x+1+2-x>4,

        ∴x>1.又- <x≤2,

        ∴1<x≤2.

        當(dāng)x>2時(shí),原不等式可化為

        2x+1+x-2>4,∴x> .

        又x>2,∴x>2.

        綜上,得原不等式的解集為{xx<-1或1<x}.

        深化拓展

        若此題再多一個(gè)含絕對(duì)值式子.如:

        2x+1+x-2+x-1>4,你又如何去解?

        分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,

        得x1=- ,x2=1,x3=2.

        解:當(dāng)x≤- 時(shí),原不等式化為

        -2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .

        當(dāng)- <x≤1時(shí),原不等式可化為

        2x+1+2-x+1-x>4,4>4(矛盾).

        當(dāng)1<x≤2時(shí),原不等式可化為

        2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.

        又1<x≤2,

        ∴1<x≤2.

        當(dāng)x>2時(shí),原不等式可化為

        2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .

        又x>2,∴x>2.

        綜上所述,原不等式的解集為{xx<- 或x>1}.

        【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

        剖析:需先去絕對(duì)值,可按定義去絕對(duì)值,也可利用x≤a -a≤x≤a去絕對(duì)值.

        解法一:原不等式 (1) 或(2)

        不等式(1) x=-3或3≤x≤4;

        不等式(2) 2≤x<3.

        ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

        解法二:原不等式等價(jià)于

        或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

        ∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

        【例3】 (理)已知函數(shù)f(x)=xx-a(a∈R).

       。1)判斷f(x)的奇偶性;

       。2)解關(guān)于x的不等式:f(x)≥2a2.

        解:(1)當(dāng)a=0時(shí),

        f(-x)=-x-x=-xx=-f(x),

        ∴f(x)是奇函數(shù).

        當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=0且f(-a)=-2aa.

        故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).

        ∴f(x)是非奇非偶函數(shù).

       。2)由題設(shè)知xx-a≥2a2,

        ∴原不等式等價(jià)于 ①

        或 ②

        由①得 x∈ .

        由②得

        當(dāng)a=0時(shí),x≥0.

        當(dāng)a>0時(shí),

        ∴x≥2a.

        當(dāng)a<0時(shí),

        即x≥-a.

        綜上

        a≥0時(shí),f(x)≥2a2的解集為{xx≥2a};

        a<0時(shí),f(x)≥2a2的解集為{xx≥-a}.

        ()設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2,不等式 f(x)<6的解集為(-1,2),試求不等式 ≤1的解集.

        解:ax+2<6,

        ∴(ax+2)2<36,

        即a2x2+4ax-32<0.

        由題設(shè)可得

        解得a=-4.

        ∴f(x)=-4x+2.

        由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.

        解得x> 或x≤ .

        ∴原不等式的解集為{xx> 或x≤ }.

        ●闖關(guān)訓(xùn)練

        夯實(shí)基礎(chǔ)

        1.已知集合A={xa-1≤x≤a+2},B={x3<x<5},則能使A B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是

        A.{a3<a≤4}B.{a3≤a≤4}

        C.{a3<a<4}D.

        解析:由題意知 得3≤a≤4.

        答案:B

        2.不等式x2+2x<3的解集為_(kāi)___________.

        解析:-3<x2+2x<3,即

        ∴-3<x<1.

        答案:-3<x<1

        3.不等式x+2≥x的解集是____________.

        解法一:x+2≥x (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

        解法二: 在同一直角坐標(biāo)系下作出f(x)=x+2與g(x)=x的圖象,根據(jù)圖象可得x≥-1.

        解法三:根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,不等式x+2≥x表示數(shù)軸上x(chóng)到-2的距離不小于到0的距離,∴x≥-1.

        答案:{xx≥-1}

        評(píng)述:本題的三種解法均為解絕對(duì)值不等式的基本方法,必須掌握.

        4.當(dāng)0<a<1時(shí),解關(guān)于x的不等式a <ax-2.

        解:由0<a<1,原不等式可化為 >x-2.

        這個(gè)不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集. ①

        或 ②

        解不等式組①得解集為{x ≤x<2},

        解不等式組②得解集為{x2≤x<5},

        所以原不等式的解集為{x ≤x<5}.

        5.關(guān)于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的兩實(shí)根為x1、x2,若x1+x2=2,求m的值.

        解:x1、x2為方程兩實(shí)根,

        ∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.

        ∴m≥ 或m≤ .

        又∵x1x2= >0,∴x1、x2同號(hào).

        ∴x1+x2=x1+x2=2m-1.

        于是有2m-1=2,∴m=0或2.

        ∴m=0.

        培養(yǎng)能力

        6.解不等式 ≤ .

        解:(1)當(dāng)x2-2<0且x≠0,即當(dāng)- <x< 且x≠0時(shí),原不等式顯然成立.

       。2)當(dāng)x2-2>0時(shí),原不等式與不等式組 等價(jià).

        x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.

        ∴|x|≥2.∴不等式組的解為|x|≥2,

        即x≤-2或x≥2.

        ∴原不等式的解集為(-∞,-2]∪(- ,0)∪(0, )∪[2,+∞).

        7.已知函數(shù)f(x)= 的定義域恰為不等式log2(x+3)+log x≤3的解集,且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解:由log2(x+3)+log x≤3得

        x≥ ,

        即f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).

        ∵f(x)在定義域[ ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

        ∴當(dāng)x2>x1≥ 時(shí),f(x1)-f(x2)>0恒成立,即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0

       。▁1-x2)(a+ )>0恒成立.

        ∵x1<x2,∴(x1-x2)(a+ )>0

        a+ <0.

        ∵x1x2> - >- ,

        要使a<- 恒成立,

        則a的取值范圍是a≤- .

        8.有點(diǎn)難度喲!

        已知f(x)=x2-x+c定義在區(qū)間[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:

        (1)f(0)=f(1);

       。2) f(x2)-f(x1)<x1-x2;

       。3) f(x1)-f(x2)< ;

       。4) f(x1)-f(x2)≤ .

        證明:(1)f(0)=c,f(1)=c,

        ∴f(0)=f(1).

        (2) f(x2)-f(x1)=x2-x1x2+x1-1.

        ∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2).

        ∴-1<x1+x2-1<1.

        ∴ f(x2)-f(x1)<x2-x1.

        (3)不妨設(shè)x2>x1,由(2)知

        f(x2)-f(x1)<x2-x1.①

        而由f(0)=f(1),從而

        f(x2)-f(x1)= f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)≤ f(x2)-f(1)+ f(0)-

        f(x1)<1-x2+x1<1-x2+x1.②

       、+②得2 f(x2)-f(x1)<1,

        即 f(x2)-f(x1)< .

       。4)f(x2)-f(x1)≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .

        探究創(chuàng)新

        9.(1)已知a<1,b<1,求證: >1;

        (2)求實(shí)數(shù)λ的取值范圍,使不等式 >1對(duì)滿(mǎn)足a<1,b<1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立;

        (3)已知a<1,若 <1,求b的取值范圍.

       。1)證明:1-ab2-a-b2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).

        ∵a<1,b<1,∴a2-1<0,b2-1<0.

        ∴1-ab2-a-b2>0.

        ∴1-ab>a-b,

        = >1.

       。2)解:∵ >1 1-abλ2-aλ-b2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.

        ∵b2<1,∴a2λ2-1<0對(duì)于任意滿(mǎn)足a<1的a恒成立.

        當(dāng)a=0時(shí),a2λ2-1<0成立;

        當(dāng)a≠0時(shí),要使λ2< 對(duì)于任意滿(mǎn)足a<1的a恒成立,而 >1,

        ∴λ≤1.故-1≤λ≤1.

        (3) <1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.

        ∵a<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1<b<1.

        ●思悟小結(jié)

        1.解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值.常用的方法是:(1)由定義分段討論;(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì);(3)平方.

        2.解含參數(shù)的不等式,如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān),就必須分類(lèi)討論.注意:(1)要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?(2)用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分,做到不重不漏.

        ●教師下載中心

        教學(xué)點(diǎn)睛

        1.絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn),而絕對(duì)值不等式更是?汲P.在教學(xué)中要從絕對(duì)值的定義和幾何意義分析,絕對(duì)值的特點(diǎn)是帶有絕對(duì)值符號(hào),如何去掉絕對(duì)值符號(hào),一定要教給學(xué)生方法,切不可以題論題.

        2.無(wú)理不等式在新程書(shū)本并未出現(xiàn),但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.

        3.指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.

        拓展題例

        【例1】 設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足x12+x22≤1,證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

        分析:要證原不等式成立,也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.

        證明:(1)當(dāng)x12+x22=1時(shí),原不等式成立.

       。2)當(dāng)x12+x22<1時(shí),聯(lián)想根的判別式,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1),其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).

        由題意x12+x22<1,函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向下.

        又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,

        因此拋物線(xiàn)與x軸必有公共點(diǎn).

        ∴Δ≥0.

        ∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,

        即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).

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