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高考數學橢圓專題檢測及答案
一、選擇題
2.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標準方程是()
(A)+=1 (B)+=1
(C)+y2=1 (D)+=1
二、填空題
7.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為.
8.已知點P是橢圓16x2+25y2=400上一點,且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是.
9.分別過橢圓+=1(a0)的左、右焦點F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點在此橢圓的內部,則此橢圓的離心率的取值范圍是.
三、解答題
10.(2013西安模擬)在平面直角坐標系中,已知曲線C上任意一點P到兩個定點F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.
(1)求曲線C的方程.
(2)設過(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,以線段AB為直徑作圓.
試問:該圓能否經過坐標原點?若能,請寫出此時直線l的方程,并證明你的結論;若不能,請說明理由.
11.(2013渭南模擬)已知橢圓C:+=1(a0)的右頂點A為拋物線y2=8x的焦點,上頂點為B,離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,若線段PQ的中點橫坐標是-,求直線l的方程.
12.(能力挑戰(zhàn)題)已知點P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點,點F2與點F1關于原點對稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點.
(1)求點M的軌跡C的方程.
(2)設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A,B,點K是軌跡C上異于A,B的任意一點,KHx軸,H為垂足,延長HK到點Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D,N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系.
答案解析
2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.
知其半徑r=4,長軸長2a=4,a=2.
又e==,
c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
橢圓的標準方程為+=1.
7.【解析】根據橢圓焦點在x軸上,可設橢圓方程為+=1(a0).
∵e=,=.根據△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.
答案:+=1
8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因為x3,故舍去),
又點P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16()2+25y2=400,
解得y=2,
=|F1F2|y=62=6.
答案:6
9.【思路點撥】關鍵是由l1, l2的交點在此橢圓的內部,得到a,b,c間的關系,進而求得離心率e的取值范圍.
【解析】由已知得交點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.
又點P在橢圓內部,所以有c20,k2,②
則x1+x2=,x1x2=,代入①,得
(1+k2)-2k+4=0.即k2=4,
k=2或k=-2,滿足②式.
所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.
11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點為A(2,0),依題意可知a=2.
因為離心率e==,所以c=.
故b2=a2-c2=1,
所以橢圓C的方程為:+y2=1.
(2)直線l:y=kx+,
由
消去y可得(4k2+1)x2+
8kx+4=0,
因為直線l與橢圓C相交于P,Q,
所以=(8k)2-4(4k2+1)0,
解得|k|.
又x1+x2=,x1x2=,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點M(x0,y0),
因為線段PQ的中點橫坐標是-,
所以x0===-,
解得k=1或k=,
因為|k|,所以k=1,
因此所求直線l:y=x+.
12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),
圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4|F1F2|=2,
點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,其中長軸2a=4,焦距2c=2,
則短半軸b===1,
橢圓方程為:+ y2=1.
(2)設K(x0,y0),則+=1.
∵|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ==2,
Q點在以O為圓心,2為半徑的圓上,即Q點在以AB為直徑的圓O上.
又A(-2,0),直線AQ的方程為y=(x+2).
令x=2,得D(2,).
又B(2,0),N為DB的中點,N(2,).
=(x0,2y0),=(x0-2,).
=x0(x0-2)+2y0=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,
,直線QN與以AB為直徑的圓O相切.
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