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      常微分方程第二版課后答案

      時間:2017-09-28 19:30:55 常微分方程答案 我要投稿

      常微分方程第二版課后答案

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        常微分方程課后答案 第二版 (丁同仁)版

        常微分方程第二版課后答案:習(xí)題1.2

        1.dy

        dx=2xy,并滿足初始條件:x=0,y=1的特解。 解:dy

        y=2xdx 兩邊積分有:ln|y|=x2+c

        y=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解,c=0時,y=0 原方程的通解為y= cex2,x=0 y=1時 c=1

        特解為y= ex2.

        2. y2dx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解。 解:y2dx=-(x+1)dy dyy2dy=-1

        x1dx

        兩邊積分: -1y=-ln|x+1|+ln|c| y=1

        ln|c(x1)|

        另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e 特解:y=1

        ln|c(x1)|

        dy1y2

        3.dx=xyx3y

        解:原方程為:dydx=1y21

        yxx3

        1y21

        ydy=xx3dx

        兩邊積分:x(1+x2)(1+y2)=cx2

        4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

        解:原方程為: 1yx1

        ydy=-xdx

        兩邊積分:ln|xy|+x-y=c

        另外 x=0,y=0也是原方程的解。

        5.(y+x)dy+(x-y)dx=0

        解:原方程為:

        dydx=-xy

        xy 令ydyx=u 則dx=u+xdu

        dx 代入有: -u11

        u21du=xdx

        ln(u2+1)x2=c-2arctgu

        即 ln(y2+x2)=c-2arctgy

        x2. 6. xdy22

        dx-y+xy=0

        解:原方程為: dydx=yx+|x|

        x-(y2

        x) 則令yx=u dydudx=u+ xdx

        1 du=sgnx 1

        u2xdx arcsiny

        x=sgnx ln|x|+c

        7. tgydx-ctgxdy=0

        解:原方程為:dydx

        tgy=ctgx

        兩邊積分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1c

        ccosx=cosx 另外y=0也是原方程的.解,而c=0時,y=0. 所以原方程的通解為sinycosx=c. y23x

        8 dye

        dx+y=0

        dyey2

        解:原方程為:dx=3x

        ye

        2 e3x-3ey2=c.

        9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

        解:原方程為:dyyy

        dx=xlnx 令y

        x=u ,則dydu

        dx=u+ xdx

        u+ xdu

        dx=ulnu

        ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lny

        x=cy. 10. dy

        dx=exy

        解:原方程為:dyx

        dx=eey

        ey=cex 11 dy2

        dx=(x+y)

        解:令x+y=u,則dydudx=dx-1

        du2dx-1=u

        1

        1u2du=dx

        arctgu=x+c

        arctg(x+y)=x+c 12. dydx=1

        (xy)2

        解:令x+y=u,則dydx=du

        dx-1 du1

        dx-1=u2

        u-arctgu=x+c

        y-arctg(x+y)=c. 13. dy2xy1

        dx=x2y1

        解: 原方程為:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c

        xy-y2+y-x2-x=c 14: dyx

        dx=y5

        xy2

        解:原方程為:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(1

        2y2+2y)-d(12

        2x+5x)=0

        y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy

        dx=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy1

        解:原方程為:dy

        dx=(x+4y)2+3

        令x+4y=u 則dy1dudx=4dx-14

        1du1

        4dx-4=u2+3

        du

        dx=4 u2+13 u=3

        2tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=2

        3(x+4y+1).

        16:證明方程xdy

        ydx=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程,并由此求下列方程:

        1) y(1+x2y2)dx=xdy

        2) xdy2x2 y2

        ydx=2-x2y2

        證明: 令xy=u,則xdydu

        dx+y=dx

        則dy1duu

        dx=xdx-x2,有: xdu

        udx=f(u)+1 1

        u(f(u)1)du=1

        xdx

        所以原方程可化為變量分離方程。

        1) 令xy=u 則dydx=1duu

        xdx-x2 (1) 原方程可化為:dyy2

        dx=x[1+(xy)] (2)

        將1代入2式有:1duxdx-uu2

        x2=x(1+u) u=u22+cx

        17.求一曲線,使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。

        解:設(shè)(x +y )為所求曲線上任意一點(diǎn),則切線方程為:y=y’(x- x )+ y 則與x軸,y軸交點(diǎn)分別為:

        x= xy0

        0 - y' y= y0 - x0 y’

        則 x=2 xy0

        0 = x0 - y' 所以 xy=c

        18.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程,其中 =

        4 。

        解:由題意得:y’=y11

        x ydy=x dx

        ln|y|=ln|xc| y=cx.

         =

        4 則y=tgx 所以 c=1 y=x.

        19.證明曲線上的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。

        證明:設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn),則y’=kx

        則:y=kx2 +c 即為所求。

        常微分方程習(xí)題2.1

        1.dy

        dx2xy,并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解.

        解:對原式進(jìn)行變量分離得

        12

        ydy2xdx,兩邊同時積分得:lnyx2c,即ycex把x0,y1代入得

        2

        c1,故它的特解為yex。

        2.y2dx(x1)dy0,并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解.

        解:對原式進(jìn)行變量分離得:

        1

        x1dx111

        y2dy,當(dāng)y0lnxyc,即yclnx1

        當(dāng)y0時顯然也是原方程的解。當(dāng)x0,y1時,代入式子得c1,故特解是y1

        1lnx。

        2

        3 dy1

        dxyxyx3y

        解:原式可化為:

        dydx1y2y1

        xx顯然31y2yy10,dydx23xx1y1兩邊積分得ln2y212lnxlnxlnc(c0),即(12

        (1x)cxy)222y)(1x)cx 222故原方程的解為(1

        5:(yx)dy(yx)dx0

        dy

        dxyx

        yx,令y

        xu,yux,dy

        dxuxdu

        dx

        則uxdu

        dxu1u11

        u1,變量分離,得:u21duxdx

        兩邊積分得:arctgu12

        2ln(1u)lnxc。

        6:xdy

        dxyx2y2

        解:令y

        xu,yux,dy

        dxuxdu

        dx,則原方程化為:

        du2

        x(1u2),11dxxu2dusgnxxdx兩邊積分得:arcsinusgnxlnxc代回原來變量,得arcsiny

        xsgnxlnxc

        另外,y2x2也是方程的解。7:tgydxctgxdy0

        解:變量分離,得:ctgydytgxdx兩邊積分得:lnsinylncosxc.

        y23x

        8:dy

        dxy

        y

        y2dy13xe3ec

        9:x(lnxlny)dyydx0

        解:方程可變?yōu)椋?#61485;lny

        xdyy

        xdx0

        令uy1lnu

        x,xdx1lnudlnu代回原變量得:cy1lny

        x。

        10dyxy

        dxe

        解:變量分離eydyexdx

       

        兩邊積分eyexc

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