回文數(shù)研究
回文數(shù)研究
陳宣章
設(shè)n是一任意自然數(shù)。若將n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)n1與n相等,則稱n為一回文數(shù)。例如, 為一回文數(shù);則不是回文數(shù)。
自然數(shù)中,最小回文數(shù)是0,其次為1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99, 101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292, 303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494, 505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696, 707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999。
平方回?cái)?shù)定義:一個(gè)回文數(shù),它同時(shí)還是某一個(gè)數(shù)的平方。例如:121。
100-1000內(nèi)的平方回?cái)?shù)只有3個(gè):121=112,484=222=4*121,676=262=4*169=4*132。
四位的回文數(shù)的特點(diǎn):決不會(huì)是一個(gè)質(zhì)數(shù),能被11整除。證明:設(shè)它為abba,即等于a*1000+b*100+b*10+a=1001a+110b=11(91a+10b)。六位的回文數(shù)也一樣能被11整除。
借助電子計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn):完全平方數(shù)、完全立方數(shù)中的回文數(shù)比例,要比一般自然數(shù)中回文數(shù)所占的比例大得多。例如11^2=121,22^2=484,7^3=343,11^3=1331,11^4=……都是回文數(shù)。但是,人們迄今未能找到自然數(shù)(除0和1)的五次方,以及更高次冪的回文數(shù)。于是數(shù)學(xué)家們猜想:不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然數(shù))形式的回文數(shù)。
回文數(shù)算法:任一自然數(shù)倒過(guò)來(lái)成另一個(gè)數(shù)(稱為影數(shù)),再把兩數(shù)相加得一個(gè)和數(shù)。這種把任一自然數(shù)加上其影數(shù)的運(yùn)算,稱為回文數(shù)算法,或者合影運(yùn)算。其和數(shù)倒過(guò)來(lái)得其影數(shù),再把兩數(shù)相加得一個(gè)和數(shù);照此“合影運(yùn)算”直到出現(xiàn)一個(gè)回文數(shù)。如接著算下去,還會(huì)得到更多的回文數(shù)。這個(gè)過(guò)程又稱為“196算法”。
合影運(yùn)算猜想:任一個(gè)自然數(shù)經(jīng)有限次合影運(yùn)算,最后必定能得到一個(gè)回文數(shù)。但是有些數(shù)并不“馴服”。例如:196重復(fù)了數(shù)十萬(wàn)次合影運(yùn)算,仍未得到回文數(shù)。但既不能肯定運(yùn)算下去永遠(yuǎn)得不到回文數(shù),也不知需再運(yùn)算多少步才能最終得到回文數(shù)。
利克瑞爾數(shù):像196這種經(jīng)重復(fù)合影運(yùn)算仍未得到回文數(shù)的自然數(shù),稱為利克瑞爾數(shù)。最小的利克瑞爾數(shù)即196,因而它受到最多的關(guān)注。因還不能證明一個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)不能形成回文數(shù),所以利克瑞爾數(shù)這一命題僅是猜想而非已獲證明;能證明的僅是那些反例,即如果一個(gè)數(shù)最終能形成回文數(shù),則它是“非利克瑞爾數(shù)”。
1938年(電子計(jì)算機(jī)尚未問(wèn)世),美國(guó)數(shù)學(xué)家萊默(D.Lehmer,1905-1991)計(jì)算到第73步,得到了一個(gè)沒(méi)有形成回文數(shù)的35位的和數(shù)。至今挑戰(zhàn)此題的數(shù)學(xué)愛(ài)好者從未間斷過(guò),隨著計(jì)算機(jī)科技的發(fā)展,不斷有人編寫不同的程序?qū)Υ祟}發(fā)起挑戰(zhàn)。W.V.Landingham在2006年2月已計(jì)算到699萬(wàn)步,得到一個(gè)2.89億位以上的和數(shù),其間仍未出現(xiàn)回文數(shù)。
另外,關(guān)于達(dá)到回文數(shù)需要計(jì)算步數(shù)的世界記錄:2005年11月30日,Jason Doucette對(duì)一個(gè)19位數(shù)字1,186,060,307,891,929,990, 用程序經(jīng)261步合影運(yùn)算得到回文數(shù)。(見(jiàn)附錄,表1,來(lái)源于《百度百科?回文數(shù)》)
我的研究:
一.一般自然數(shù)中回文數(shù)所占的比例。
1.一位數(shù)0-9:全部是回文數(shù)。回文數(shù)所占比例10/10=1/1。
2.二位數(shù)10-99:∵十位數(shù)字A,回文數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為A�！嗷匚臄�(shù)所占比例1/10。
3.三位數(shù)100-999:∵前兩位數(shù)字AB,回文數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為A。∴回文數(shù)所占比例1/10。
4.四位數(shù)1000-9999:∵前兩位數(shù)字AB,回文數(shù)的后兩位數(shù)字必須為BA�！嗷匚臄�(shù)所占比例1/100。
5.五位數(shù)-:∵前三位數(shù)字ABC,回文數(shù)的后兩位數(shù)字必須為BA�！嗷匚臄�(shù)所占比例1/100。
6.六位數(shù)-:∵前三位數(shù)字ABC,回文數(shù)的后兩位數(shù)字必須為CBA�！嗷匚臄�(shù)所占比例1/1000。
7.七位數(shù)-:∵前四位數(shù)字ABCD,回文數(shù)的后三位數(shù)字必須為CBA�！嗷匚臄�(shù)所占比例1/1000。
……N位數(shù)中回文數(shù)所占比例M:⑴N為偶數(shù)時(shí),M=1/10^n,而n=N/2。⑵N為奇數(shù)時(shí),M=1/10^n,而n=(N-1)/2。⑶當(dāng)N→∞時(shí),M→0。⑷在全部自然數(shù)中,回文數(shù)所占的'比例為1.……/∞,M→0;而絕大多數(shù)是非回文數(shù)。
二.合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)和合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)。
如果N位數(shù)的合影運(yùn)算之和仍然為N位數(shù),例如:+=,稱為合影運(yùn)算平級(jí)數(shù);如果合影運(yùn)算之和為(N+1)位數(shù),例如:+=,稱為合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)。所以,自然數(shù)可以分為三個(gè)子集:回文數(shù)子集,合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)子集和合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)子集。
1.因?yàn)榛匚臄?shù)最重要的問(wèn)題是合影運(yùn)算猜想,所以研究重點(diǎn)應(yīng)該是合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)子集。只有不斷合影運(yùn)算升級(jí)的數(shù)才有可能是利克瑞爾數(shù)。
2.合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)與原來(lái)的自然數(shù)屬于“等價(jià)”,例如:196+691=887,則887與196、691等價(jià)。因?yàn)?87是合影運(yùn)算升級(jí)數(shù),比196、691更有研究?jī)r(jià)值。當(dāng)然,假如最后證明887是利克瑞爾數(shù),則788、691、196為更小的利克瑞爾數(shù)。它們之間的區(qū)別僅是合影運(yùn)算的次數(shù)。
3.可以對(duì)兩位數(shù)以上(含兩位數(shù))自然數(shù)分成每90個(gè)數(shù)一段進(jìn)行研究。
例如:在10-99這90個(gè)數(shù)中,回文數(shù)9個(gè):11、22、33、44、55、66、77、88、99;合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)41個(gè):10、12、13、14、15、16、17、18、20、21、23、24、25、26、27、30、31、32、34、35、36、40、41、42、43、45、50、51、52、53、54、60、61、62、63、70、71、72、80、81、90;合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)40個(gè):19、28、29、37、38、39、46、47、48、49、56、57、58、59、64、65、67、68、69、73、74、75、76、78、79、82、83、84、85、86、87、89、91、92、93、94、95、96、97、98。
有趣的是:41個(gè)合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)經(jīng)過(guò)一次合影運(yùn)算都成為回文數(shù)。這41個(gè)合影運(yùn)算平級(jí)數(shù)本身不是合影運(yùn)算的結(jié)果,它們?cè)趦晌粩?shù)中都有等價(jià)數(shù),而且都是回文數(shù)。
一個(gè)自然數(shù)常�？梢杂袔讉�(gè)等價(jià)數(shù),例如:66=15+51=24+42=33+33。
40個(gè)合影運(yùn)算升級(jí)數(shù)又成為20對(duì):19與91;28與82等等。所以只需要研究20對(duì)中的較大數(shù):64、65、73、74、75、76、82、83、84、85、86、87、91、92、93、94、95、96、97、98。其特點(diǎn)是十位數(shù)子大于個(gè)位數(shù)字。
其它各種自然數(shù)段也可以作類似的研究。
4.等價(jià)樹:從某個(gè)自然數(shù)開(kāi)始,經(jīng)過(guò)不斷的合影運(yùn)算,形成一棵等價(jià)樹。
例如:196+691→887+788→1675+5761→7436+6347→……直到出現(xiàn)回文數(shù)結(jié)束。如果一棵等價(jià)樹永遠(yuǎn)沒(méi)有頂,那么等價(jià)樹上所有自然數(shù)都是利克瑞爾數(shù)。如果一棵等價(jià)樹出現(xiàn)了頂(即回文數(shù)),那么等價(jià)樹上所有自然數(shù)都是非利克瑞爾數(shù)。
三.利克瑞爾數(shù)與非利克瑞爾數(shù)。
兩者的區(qū)別在于最終能不能得到回文數(shù),也就是等價(jià)樹上升有沒(méi)有頂點(diǎn)。根據(jù)一般自然數(shù)中回文數(shù)所占的比例的規(guī)律,自然數(shù)位數(shù)越大,回文數(shù)所占的比例越小,所以,我認(rèn)為:一個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)不能形成回文數(shù)的可能性極大。
四.表1列舉的“代表性數(shù)字”,其實(shí)應(yīng)該還有其“影數(shù)”,例如:2位數(shù)的98。
附錄:表1列舉的是各位數(shù)字中,到達(dá)“回文數(shù)”花費(fèi)步數(shù)最多的代表性數(shù)字。
2016.11.21.
【回文數(shù)研究】相關(guān)文章：
1.菩薩蠻（回文）