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高考數(shù)學(xué)極限重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)
考試內(nèi)容：教學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用，數(shù)列的極限.
函數(shù)的極限.根限的四則運(yùn)算.函數(shù)的連續(xù)性.
考試要求：
(1)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.
(2)了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.
(3)掌握極限的四則運(yùn)算法則;會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.
(4)了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).
13. 極 限 知識要點(diǎn)
1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法：①證明當(dāng) 取第一個 時結(jié)論正確;②假設(shè)當(dāng) ( )時，結(jié)論正確，證明當(dāng) 時，結(jié)論成立.
�、频诙䲠�(shù)學(xué)歸納法：設(shè) 是一個與正整數(shù) 有關(guān)的命題，如果
�、佼�(dāng) ( )時， 成立;
②假設(shè)當(dāng) ( )時， 成立，推得 時， 也成立.
那么，根據(jù)①②對一切自然數(shù) 時， 都成立.
2. ⑴數(shù)列極限的表示方法：
①
�、诋�(dāng) 時， .
�、茙讉�常用極限：
① ( 為常數(shù))
�、�
�、蹖τ谌我鈱嵆�(shù)，
當(dāng) 時，
當(dāng) 時，若a = 1，則 ;若 ，則 不存在
當(dāng) 時， 不存在
⑶數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：
⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：
求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當(dāng) 時，無窮等比數(shù)列的各項和為 .
(化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式)
注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.
3. 函數(shù)極限;
�、女�(dāng)自變量 無限趨近于常數(shù) (但不等于 )時，如果函數(shù) 無限趨進(jìn)于一個常數(shù) ，就是說當(dāng) 趨近于 時，函數(shù) 的極限為 .記作 或當(dāng) 時， .
注：當(dāng) 時， 是否存在極限與 在 處是否定義無關(guān)，因為 并不要求 .(當(dāng)然， 在 是否有定義也與 在 處是否存在極限無關(guān). 函數(shù) 在 有定義是 存在的既不充分又不必要條件.)
如 在 處無定義，但 存在，因為在 處左右極限均等于零.
�、坪瘮�(shù)極限的四則運(yùn)算法則：
4. 函數(shù)的連續(xù)性：
⑴如果函數(shù)f(x)，g(x)在某一點(diǎn) 連續(xù)，那么函數(shù) 在點(diǎn) 處都連續(xù).
⑵函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處連續(xù)必須滿足三個條件：
�、俸瘮�(shù)f(x)在點(diǎn) 處有定義;② 存在;③函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即 .
⑶函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處不連續(xù)(間斷)的判定：
如果函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處有下列三種情況之一時，則稱 為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn).
�、賔(x)在點(diǎn) 處沒有定義，即 不存在;② 不存在;③ 存在，但 .
5. 零點(diǎn)定理，介值定理，夾逼定理：
⑴零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 .那么在開區(qū)間 內(nèi)至少有函數(shù) 的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn) ( )使 .
�、平橹刀ɡ恚涸O(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值， ，那么對于 之間任意的一個數(shù) ，在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得 ( ).
�、菉A逼定理：設(shè)當(dāng) 時，有 ，且 ，則必有
注： ：表示以 為的極限，則 就無限趨近于零.( 為最小整數(shù))
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