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      高考數(shù)學(xué)極限重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

      時間:2022-12-09 07:38:07 高考數(shù)學(xué) 我要投稿
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        考試內(nèi)容:教學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用,數(shù)列的極限.

      高考數(shù)學(xué)極限重點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

        函數(shù)的極限.根限的四則運(yùn)算.函數(shù)的連續(xù)性.

        考試要求:

        (1)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.

        (2)了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.

        (3)掌握極限的四則運(yùn)算法則;會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.

        (4)了解函數(shù)連續(xù)的意義,了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).

        13. 極 限 知識要點(diǎn)

        1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法:①證明當(dāng) 取第一個 時結(jié)論正確;②假設(shè)當(dāng) ( )時,結(jié)論正確,證明當(dāng) 時,結(jié)論成立.

       、频诙䲠(shù)學(xué)歸納法:設(shè) 是一個與正整數(shù) 有關(guān)的命題,如果

       、佼(dāng) ( )時, 成立;

        ②假設(shè)當(dāng) ( )時, 成立,推得 時, 也成立.

        那么,根據(jù)①②對一切自然數(shù) 時, 都成立.

        2. ⑴數(shù)列極限的表示方法:

        ①

       、诋(dāng) 時, .

       、茙讉常用極限:

        ① ( 為常數(shù))

       、

       、蹖τ谌我鈱嵆(shù),

        當(dāng) 時,

        當(dāng) 時,若a = 1,則 ;若 ,則 不存在

        當(dāng) 時, 不存在

        ⑶數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則:

        ⑷數(shù)列極限的應(yīng)用:

        求無窮數(shù)列的各項和,特別地,當(dāng) 時,無窮等比數(shù)列的各項和為 .

        (化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式)

        注:并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.

        3. 函數(shù)極限;

       、女(dāng)自變量 無限趨近于常數(shù) (但不等于 )時,如果函數(shù) 無限趨進(jìn)于一個常數(shù) ,就是說當(dāng) 趨近于 時,函數(shù) 的極限為 .記作 或當(dāng) 時, .

        注:當(dāng) 時, 是否存在極限與 在 處是否定義無關(guān),因為 并不要求 .(當(dāng)然, 在 是否有定義也與 在 處是否存在極限無關(guān). 函數(shù) 在 有定義是 存在的既不充分又不必要條件.)

        如 在 處無定義,但 存在,因為在 處左右極限均等于零.

       、坪瘮(shù)極限的四則運(yùn)算法則:

        4. 函數(shù)的連續(xù)性:

        ⑴如果函數(shù)f(x),g(x)在某一點(diǎn) 連續(xù),那么函數(shù) 在點(diǎn) 處都連續(xù).

        ⑵函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處連續(xù)必須滿足三個條件:

       、俸瘮(shù)f(x)在點(diǎn) 處有定義;② 存在;③函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值,即 .

        ⑶函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處不連續(xù)(間斷)的判定:

        如果函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處有下列三種情況之一時,則稱 為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn).

       、賔(x)在點(diǎn) 處沒有定義,即 不存在;② 不存在;③ 存在,但 .

        5. 零點(diǎn)定理,介值定理,夾逼定理:

        ⑴零點(diǎn)定理:設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 .那么在開區(qū)間 內(nèi)至少有函數(shù) 的一個零點(diǎn),即至少有一點(diǎn) ( )使 .

       、平橹刀ɡ恚涸O(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值, ,那么對于 之間任意的一個數(shù) ,在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點(diǎn) ,使得 ( ).

       、菉A逼定理:設(shè)當(dāng) 時,有 ,且 ,則必有

        注: :表示以 為的極限,則 就無限趨近于零.( 為最小整數(shù))

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