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高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧
答題技巧是一門學(xué)問,答題順序、審題方式、遇到難題的處理等都大有講究,同學(xué)們要掌握這方面的技巧,充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性,將記憶力、理解力、分析綜合融于一體,對提高考試成績將產(chǎn)生直接影響。下面是陽光網(wǎng)小編為你整理的高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧內(nèi)容,希望對你有幫助。
三角函數(shù)教材分析
三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓,研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析,因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了,本章所介紹的知識(shí),既是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具,又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)
一、 內(nèi)容與要求
(一)本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù),以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),已知三角函數(shù)值求角等
(二)章頭引言安排了一個(gè)實(shí)際問題——求半圓內(nèi)接矩形的最大面積.這個(gè)問題可以用二次函數(shù)來解決,但如果設(shè)角度為自變量,就會(huì)得到三角函數(shù)式,學(xué)生尚未學(xué)過求它的最大值
第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)” 教科書首先推廣了角的概念,介紹了弧度制,接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角(都用坐標(biāo)定義),然后導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中,都安排了許多實(shí)例以及知識(shí)的應(yīng)用
第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)” 教科書先引入平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式(只通過畫圖說明公式的正確性,不予嚴(yán)格證明),用距離公式推出余弦的和角公式,然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)其他公式,同時(shí)安排了這些公式的簡單應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用,包括解決引言中的實(shí)際問題,引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學(xué)生有所了解
第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)” 教科書先利用正弦線畫出函數(shù) ,x∈[0, ]的圖象,并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”,把這一圖象向左、右平行移動(dòng),得到正弦曲線;在此基礎(chǔ)上,利用誘導(dǎo)公式,把正弦曲線向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度,得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點(diǎn),研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì),然后又研究了正弦函數(shù)的簡圖的畫法,簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角,并引進(jìn)了arcsinx、arccosx、arctanx等記號(hào),以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問題時(shí)用來表示答案
(三)本章的教學(xué)要求是:
1.使學(xué)生理解任意角的概念、弧度的意義;能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算
2.使學(xué)生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,了解余切、正割、余割的定義;掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式;掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式
3.使學(xué)生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過公式的推導(dǎo),了解它們的內(nèi)在聯(lián)系,從而培養(yǎng)邏輯推理能力
4.使學(xué)生能正確運(yùn)用三角公式,進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明(包括引出積化和差、和差化積、半角公式,但不要求記憶)
5.使學(xué)生會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象,并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象;理解周期函數(shù)與最小正周期的意義,并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì);會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖,理解A、、φ的物理意義
6.使學(xué)生會(huì)由已知三角函數(shù)值求角,并會(huì)用符號(hào)arcsinx、arccosx、arctanx表示
二、 考點(diǎn)要求
1.理解弧度的定義,并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算
2.掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導(dǎo)公式,了解周期函數(shù)和最小正周期的意義,會(huì)求的周期,或者經(jīng)過簡單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運(yùn)用上述三角公式化簡三角函數(shù)式,求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式
3.了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法,會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖,并能解決正弦、曲線有關(guān)的實(shí)際問題
4.能推導(dǎo)并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式
5.了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式
6.能正確地運(yùn)用上述公式簡化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值 證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實(shí)際問題
7.掌握余弦定理、正弦定理及其推導(dǎo)過程、并能運(yùn)用它們解斜三角形
高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)考點(diǎn)分析
三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù),由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識(shí)的密切聯(lián)系,它既是研究其他各部分知識(shí)的重要工具,又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一
本章分兩部分,第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ),不要求引入難度過高,計(jì)算過繁,技巧性過強(qiáng)的題目,重點(diǎn)應(yīng)放在結(jié)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性、熟練性和靈活性上
試題以選擇題、填空題形式居多,試題難度不高,常與其他知識(shí)結(jié)合考查
復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)把握好以下幾點(diǎn):
1.理解弧度制表示角的優(yōu)點(diǎn)在于把角的集合與實(shí)數(shù)集一一對應(yīng)起來,二是就可把三角函數(shù)看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)
2.要區(qū)別正角、負(fù)角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念
3.在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值,求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí),要注意題設(shè)中角的范圍,并對不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡、求值時(shí),應(yīng)注意公式中符號(hào)的選取
4.單位圓中的三角函數(shù)線,是三角函數(shù)的一種幾何表示,用三角函數(shù)線的數(shù)值來代替三角函數(shù)值,比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多,因此,三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具
5.要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”,進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性
6.函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的,只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大小
7.對于具有周期性的函數(shù),在作圖時(shí)只要先作它在一個(gè)周期中的圖象,然后利用周期性就可作出整個(gè)函數(shù)的圖象
8.對于,,等表達(dá)式,要會(huì)進(jìn)行熟練的變形,并利用等三角公式進(jìn)行化簡
本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù),考查的知識(shí)共7個(gè),高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識(shí),題目多為求值題,有直接求某個(gè)三角函數(shù)值的,也有通過三角變換求函數(shù)的變量范圍,周期,最小、大值和討論其他性質(zhì);以及少量的化簡,證明題考查的題量一般為3—4個(gè),分值在12—22分,都是容易題和中等題,重點(diǎn)考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式,和差化積、各積化和差公式
考生丟分的原因主要有以下兩點(diǎn):一是公式不熟,二是運(yùn)算不過關(guān),因此復(fù)習(xí)時(shí)要注意以下幾點(diǎn):
1.熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復(fù)習(xí)中注意掌握以下幾個(gè)三角恒等變形的常用方法和簡單技巧
、俪V荡鷵Q,特別是“1”的代換,如:,,,等等
、陧(xiàng)的分拆與角的配湊
、劢荡闻c升次
、苋f能代換
另外,注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實(shí)質(zhì),可以把公式中的角看成一種整體形式,可以錦成其他變量或函數(shù),這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度
2.要會(huì)運(yùn)用和差化積與積化和差公式對三角函數(shù)和差式,要善于轉(zhuǎn)化為積的形式,反之亦然,對于形如的式子,要引入輔助角并化成的形式,這里輔助角所在的象限由的符號(hào)決定,角的值由確定對這種思想,務(wù)必強(qiáng)化訓(xùn)練,加深認(rèn)識(shí)
3.歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧
①三角函數(shù)化簡時(shí),在題設(shè)的要求下,首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式,還要盡量減少角的種數(shù),盡量減少三角函數(shù)種數(shù),盡量化同角、化同名等其他思想還有:異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等
、谌呛瘮(shù)的求值問題,主要有兩種類型 一關(guān)是給角求值問題;另一類是給值求角問題它們都是通過恰當(dāng)?shù)淖儞Q,設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時(shí)應(yīng)注意方向性、靈活性,以造成消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì),簡化問題
4.關(guān)于三角函數(shù)式的簡單證明 三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種,證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡入手,適當(dāng)變換,化繁為簡,不過這里的變換目標(biāo)要由所證恒等式的特點(diǎn)來決定
、俨桓郊訔l件的三角恒等式證明:多用綜合法、分析法、在特定的條件下,也可使用數(shù)學(xué)歸納法
、诟郊訔l件的三角恒等式證明:關(guān)鍵在于恰當(dāng)而適時(shí)地使用所附加的條件,也就是要仔細(xì)地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法
三角恒等證明中要重點(diǎn)會(huì)用和差與積的互化公式,掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是:發(fā)現(xiàn)差異——觀察等式兩邊角、函數(shù)、運(yùn)算間的差異;尋找聯(lián)系——選擇恰當(dāng)公式,找出差異間的聯(lián)系;合理轉(zhuǎn)化促進(jìn)聯(lián)系,創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式
而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明,一般來說,要證,先證明的同名三角函數(shù)值相等,即,再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),而后由函數(shù)的單調(diào)性得出
5.在解有關(guān)三角形的問題中,銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式,的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用
6.求三角函數(shù)最值的常用方法是:配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值
三角函數(shù)中應(yīng)注意的問題
(一)本章內(nèi)容的重點(diǎn)是:任意角三角函數(shù)的概念,同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式及其運(yùn)用,正弦、余弦的和角公式,正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點(diǎn)是:弧度制的慨念,綜合運(yùn)用本章公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡及恒等式的證明,周期函數(shù)的概念,函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是:使學(xué)生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義,講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化,正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)
由于課時(shí)較緊,教學(xué)中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求,不要隨意補(bǔ)充已被刪簡的知識(shí)點(diǎn)例如,三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種;同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講
,,三個(gè);除(k∈Z)外,其余誘導(dǎo)公式中,要求學(xué)生記住并能靈活運(yùn)用的,只是用正弦、余弦表示那幾個(gè),以后求tan 可通過用科學(xué)計(jì)算器或者轉(zhuǎn)化為來求;在推導(dǎo)正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時(shí),出現(xiàn)了正切的誘導(dǎo)公式,但這只作為推導(dǎo)的中間步驟,不要求學(xué)生記憶;積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和(差)角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下,結(jié)果不要求記憶,更不要求運(yùn)用;此外,也不要補(bǔ)充“把化成一個(gè)角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習(xí)題
(二)在講述弧度制的優(yōu)點(diǎn)、角度制的不足時(shí),要注意科學(xué)性事實(shí)上,角的概念推廣后,無論用弧度制還用角度制,都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R及之間建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系說“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對應(yīng)”時(shí),這個(gè)實(shí)數(shù)可以取這個(gè)角的弧度數(shù),或度數(shù),或角度制下的分?jǐn)?shù),或角度制下的秒數(shù),所以對應(yīng)法則不是唯一的,但每一種對應(yīng)法則下對應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的所以不要認(rèn)為只有弧度制才能將角與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)有的教師認(rèn)為角度制的計(jì)量單位太小,而弧度制的計(jì)量單位大,而且可以省略不寫,這種說法雖有一定道理,但在科學(xué)上并不具有充足的理由,因?yàn)樾∮行〉暮锰,何況坐標(biāo)系中兩條數(shù)軸上的單位長度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時(shí)候,我們總是十進(jìn)制、六十進(jìn)制并用的,例如角其中61、21、12都是十進(jìn)數(shù),而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(jìn)(退)位的,這樣,為了找出與角對應(yīng)的實(shí)數(shù)(我們學(xué)的實(shí)數(shù)都是十進(jìn)數(shù)),要經(jīng)過一番計(jì)算,這就不太方便了
(三)定義了任意角的三角函數(shù)以后,嚴(yán)格地說,例如,只有,才可以說是正弦函數(shù);六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù),說明不是這六種函數(shù)的函數(shù),都不能說是三角函數(shù),例如可以說是2x的正弦函數(shù)(這時(shí)可說它是三角函數(shù)),也可以說是正弦函數(shù)與正比例函數(shù)的復(fù)合函數(shù),但不能說是x的正弦函數(shù)另一點(diǎn)是函數(shù)的定義域,三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的,所以教學(xué)中不宜隨便說(或?qū)?“正弦函數(shù)y=sinx”,需知“函數(shù),”只是正弦函數(shù)的一個(gè)周期,不要把部分當(dāng)作整體
(四)關(guān)于已知三角函數(shù)值求角,在講解相關(guān)例題時(shí),可以利用設(shè)輔助角(即通過設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知,這是化歸思想的運(yùn)用)來求解,把求解過程調(diào)整為:
1、如果函數(shù)值為正數(shù),則先求出對應(yīng)的銳角,如果函數(shù)值為負(fù)數(shù),則先求出與其絕對值相應(yīng)的銳角
2、決定角x可能是第幾象限角
3、如果函數(shù)值為負(fù)數(shù),則根據(jù)角x可能是第幾象限角,得出 內(nèi)對應(yīng)的角——如果它是第二象限角,那么可表示為 ;如果它是第三或第四象限角,那么可表示為 或
也可以把上述輔助角看作參變量(x為自變量),那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識(shí)分散在有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中,教學(xué)時(shí)適時(shí)提醒學(xué)生注意使用,這是有好處的
(五)本章所使用的符號(hào)及其用法,全部與國家標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的取得一致,在板書中逐漸達(dá)到規(guī)范化 物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時(shí),對于本章中的幾道與物理(力學(xué)、電學(xué))有關(guān)的習(xí)題,解答時(shí)使用的符號(hào)及其用法,應(yīng)與教科書上的相同,以免與物理教師講課時(shí)的要求發(fā)生矛盾,弄得學(xué)生無所適從
(六)注意符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律 除了從實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)概念之外,在這方面的措施有:(1)重建數(shù)形結(jié)構(gòu)首先通過平面直角坐標(biāo)系 (數(shù)形結(jié)合)定義任意角的三角函數(shù),在得到“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”即第一組誘導(dǎo)公式后,就引入與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式(三角函數(shù)線)表示出來;然后學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式,其他誘導(dǎo)公式,以及兩角和與差的三角函數(shù),這一部分屬于式的化簡、求值、恒等關(guān)系的證明以及它們的簡單應(yīng)用,研究方法以數(shù)為主,以形為輔;最后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、其應(yīng)用包括已知三角函數(shù)值求角,這一部分的研究方法則以形為主,以數(shù)為輔 (2)利用學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)首先利用二次函數(shù)的知識(shí)來解
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