平行線(xiàn)定義
在同一平面內(nèi),永不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。
平行線(xiàn)一定要在同一平面內(nèi)定義,不適用于立體幾何,比如異面直線(xiàn),不相交,也不平行。
歐氏幾何中平行線(xiàn)的性質(zhì)
1.兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截,同位角相等。
2.兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截,內(nèi)錯(cuò)角相等。
3.兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
以上性質(zhì)可簡(jiǎn)單說(shuō)成:
1.兩條直線(xiàn)平行,同位角相等。
2.兩條直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等。
3.兩條直線(xiàn)平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
三角形中:
平行線(xiàn)分三角形對(duì)應(yīng)邊成比例。
平行線(xiàn)的判定
1.平行線(xiàn)的定義。(在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。)
2.平行公理推論:平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。
3.在同一平面內(nèi),垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。
4.同位角相等,兩直線(xiàn)平行。
5.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行。
6.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線(xiàn)平行。
7.經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn),能且只能畫(huà)一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。
8.兩條直線(xiàn)都平行于第三條直線(xiàn),那么這兩條直線(xiàn)平行。
平行公理
在同一平面內(nèi),過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)互相平行。
在同一平面內(nèi),垂直于一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行。
平行公理的推論:(平行線(xiàn)的傳遞性),如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行,那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。
即平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)稱(chēng):平行于同一條直線(xiàn)的.兩條直線(xiàn)互相平行。
平行線(xiàn)定義的拓展
在高等數(shù)學(xué)中的平行線(xiàn)的定義是相交于無(wú)限遠(yuǎn)的兩條直線(xiàn)為平行線(xiàn),因?yàn)槔碚撋鲜菦](méi)有絕對(duì)的平行的。
在歐氏幾何中,在兩條平行線(xiàn)中做一條直線(xiàn)AB,以直線(xiàn)AB為半徑以逆時(shí)針?lè)较蜃鰣A,然后以直線(xiàn)AB為半徑以順時(shí)針?lè)较蛟僮鲆粋�(gè)圓,從兩個(gè)圓的交點(diǎn)做垂線(xiàn)CD垂直于直線(xiàn)AB,若CD與AB的角的角度是90度,則說(shuō)明兩條平行線(xiàn)不會(huì)相交。
但歐幾里得不敢思考當(dāng)兩條平行線(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)的情況.....
于是包括羅素、黎曼在內(nèi)的科學(xué)家假設(shè)當(dāng)兩條平行線(xiàn)無(wú)限長(zhǎng)時(shí),他們會(huì)在無(wú)窮遠(yuǎn)處相交。(例如:在地球的球面上,就會(huì)發(fā)現(xiàn),相互垂直于赤道的經(jīng)線(xiàn)會(huì)相交于北極點(diǎn)和南極點(diǎn)。)后來(lái),非歐幾何和黎曼空間就誕生了,該成果給了愛(ài)因斯坦很大的啟發(fā)。
平行線(xiàn)公理就是區(qū)分歐氏幾何與非歐幾何的一個(gè)重要區(qū)別。