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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用測(cè)試及答案
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題．
(3)若x，∈(0，＋∞)且2x＋8－x＝0，求x＋的最小值．
變式遷移2 已知x>0，>0，z>0.
變式遷移3 (2011廣州月考)某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2012年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)t萬(wàn)元之間滿足3－x與t＋1成反比例，如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬(wàn)件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費(fèi)的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完．
一、選擇題(每小題5分，共25分)
學(xué)案36 基本不等式及其應(yīng)用
自主梳理
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤
3.a＋b2 ab 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 4.(1)x＝ 小 2p (2)x＝ 大 p24
自我檢測(cè)
1．A 2.A 3
4．大 －22－1 5.[15，＋∞)
課堂活動(dòng)區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化，使用基本不等式求最值時(shí)，給定的形式不一定能直接適合基本不等式，往往需要拆添項(xiàng)或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式)，構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解．基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．
解 (1)∵x>0，>0，1x＋9＝1，
∴x＋＝(x＋)1x＋9
�。絰＋9x＋10≥6＋10＝16.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝9x時(shí)，上式等號(hào)成立，又1x＋9＝1，
∴x＝4，＝12時(shí)，(x＋)in＝16.
(2)∵x<54，∴5－4x>0.
�。�4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3
≤－2 5－4x15－4x＋3＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝15－4x，
即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x＝1時(shí)，ax＝1.
(3)由2x＋8－x＝0，得2x＋8＝x，
∴2＋8x＝1.
∴x＋＝(x＋)8x＋2＝10＋8x＋2x
＝10＋24x＋x
≥10＋2×2× 4xx＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)4x＝x，即x＝2時(shí)取等號(hào)．
又2x＋8－x＝0，∴x＝12，＝6.
∴當(dāng)x＝12，＝6時(shí)，x＋取最小值18.
變式遷移1 C [∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.
∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22abb2a＝92(當(dāng)且僅當(dāng)2ab＝b2a，即b＝2a時(shí)，“＝”成立)，故＝1a＋4b的最小值為92.]
例2 解題導(dǎo)引 “1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用到，也會(huì)給解決問題提供簡(jiǎn)捷的方法．
在不等式證明時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法．
證明 方法一 因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.
同理1＋1b＝2＋ab.
所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)
�。�5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)等號(hào)成立)．
方法二 (1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab
�。�1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，
因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1，
所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，
因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)等號(hào)成立)．
變式遷移2 證明 ∵x>0，>0，z>0，
∴x＋zx≥2zx>0，
x＋z≥2xz>0，
xz＋z≥2xz>0.
∴x＋zxx＋zxz＋z
≥8zxzxxz＝8.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝z時(shí)等號(hào)成立．
所以(x＋zx)(x＋z)(xz＋z)≥8.
例3 解題導(dǎo)引 1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序?yàn)椋?/p>
由題設(shè)寫出函數(shù)→變形轉(zhuǎn)化→利用基本不等式→求得最值→結(jié)論
2．在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：(1)先理解題意，設(shè)變量，一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值；(4)正確寫出答案．
解 (1)依題意得
�。�(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x
�。�560＋48x＋10 800x (x≥10，x∈N*)．
(2)∵x>0，∴48x＋10 800x
≥248×10 800＝1 440，
當(dāng)且僅當(dāng)48x＝10 800x，即x＝15時(shí)取到“＝”，
此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1 440＝2 000(元)．
答 當(dāng)該樓房建造15層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2 000元．
變式遷移3 解 (1)由題意可設(shè)3－x＝t＋1，
將t＝0，x＝1代入，得＝2.∴x＝3－2t＋1.
當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，
∵年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費(fèi)用＋固定費(fèi)用，
∴年生產(chǎn)成本為32x＋3＝323－2t＋1＋3.
當(dāng)銷售x(萬(wàn)件)時(shí)，年銷售收入為
150%323－2t＋1＋3＋12t.
由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷完，由年利潤(rùn)＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費(fèi)，得年利潤(rùn)＝－t2＋98t＋352t＋1 (t≥0)．
(2)＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1
≤50－2t＋12×32t＋1＝50－216＝42(萬(wàn)元)，
當(dāng)且僅當(dāng)t＋12＝32t＋1，即t＝7時(shí)，ax＝42，
∴當(dāng)促銷費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．
課后練習(xí)區(qū)
1．B [因?yàn)?a3b＝3，所以a＋b＝1，
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab
≥2＋2baab＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ba＝ab即a＝b＝12時(shí)，“＝”成立．]
2．B [不等式(x＋)1x＋a≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，恒成立，則1＋a＋x＋ax≥a＋2a＋1≥9，
∴a≥2或a≤－4(舍去)．
∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4.]
3．C [因?yàn)?a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab
�。�21ab＋ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)1a＝1b且 1ab＝ab，
即a＝b＝1時(shí)，取“＝”號(hào)．]
4．B [第一列貨車到達(dá)B市的時(shí)間為400a h，由于兩列貨車的間距不得小于a202 ，所以第17列貨車到達(dá)時(shí)間為400a＋16a202a＝400a＋16a400≥8，當(dāng)且僅當(dāng)400a＝16a400，即a＝100 /h時(shí)成立，所以最快需要8 h．]
5．A
6．18
解析 由x>0，>0,2x＋＋6＝x，得
x≥22x＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝時(shí)，取“＝”)，
即(x)2－22x－6≥0，
∴(x－32)(x＋2)≥0.
又∵x>0，∴x≥32，即x≥18.
故x的最小值為18.
7．4
解析 過(guò)原點(diǎn)的直線與f(x)＝2x交于P、Q兩點(diǎn)，則直線的斜率>0，設(shè)直線方程為＝x，由＝x，＝2x，得x＝2，＝2或x＝－2，＝－2，
∴P(2，2)，Q(－2，－2)或P(－2，－2)，Q(2，2)．
∴|PQ|＝2＋22＋2＋22
＝22＋1≥4.
8．(－∞，22－1)
解析 由f(x)>0得32x－(＋1)3x＋2>0，解得＋1<3x＋23x，而3x＋23x≥22，∴＋1<22，<22－1.
9．解 (1)∵0<x<43，∴0<3x<4.
∴x(4－3x)＝13(3x)(4－3x)≤133x＋4－3x22＝43，(4分)
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝23時(shí)，“＝”成立．
∴當(dāng)x＝23時(shí)，x(4－3x)的最大值為43.(6分)
(2)已知點(diǎn)(x，)在直線x＋2＝3上移動(dòng)，∴x＋2＝3.
∴2x＋4≥22x4＝22x＋2＝223＝42.
(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4，x＋2＝3，即x＝32，＝34時(shí)，“＝”成立．
∴當(dāng)x＝32，＝34時(shí)，2x＋4的最小值為42.
(12分)
10．解 (1)＝920vv2＋3v＋1 600＝920v＋1 600v＋3≤
9202v×1 600v＋3＝92083≈11.08.(4分)
當(dāng)v＝1 600v，即v＝40千米/小時(shí)時(shí)，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時(shí)(6分)
(2)據(jù)題意有920vv2＋3v＋1 600≥10，(8分)
化簡(jiǎn)得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽車的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi)．
(12分)
11．解 (1)每次購(gòu)買原材料后，當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費(fèi)，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次購(gòu)買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次購(gòu)買的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用
1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
�。�6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，購(gòu)買一次原材料的總費(fèi)用為6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴購(gòu)買一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用為
�。�1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.(9分)
∴≥2600x6x＋594＝714，(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)600x＝6x，即x＝10時(shí)，取等號(hào)．
∴該廠10天購(gòu)買一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用最小，且最小為714元．(14分)
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